第五章第6节圆与圆的位置关系.docVIP

（一）知识要点：知识点1：两圆的位置关系 （1）两圆外离：两圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。 （2）两圆外切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。 （3）两圆相交：两个圆有两个公共点。 （4）两圆内切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。 （5）两圆内含：两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 说明：（1）两圆同心是两圆内含的一种特例。 （4）两圆的五种位置关系也可以记为三种关系：相离，相切，相交 知识点2：两圆的位置关系的性质和判定 设两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d （1）两圆外离d＞R＋r （2）两圆外切d＝R＋r （3）两圆相交R—r＜d＜R＋r （4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d＜R－r 知识点3：相切两圆的性质定理 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. 说明：两圆相切的时候，连心线是常见的一条辅助线，要注意连心线与圆心距的区别. 知识点4：相交两圆的性质定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 说明：相交两圆组成的图形是轴对称图形，连心线是对称轴，在解决有关相交两圆的问题时，常常要作出公共弦或连接交点与圆心，从而把两圆的半径、公共弦的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。 【典型例题】 例1. 在同一平面内，若两圆没有公共点，则这两个圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 解：两圆没有公共点时，有外离和内含两种位置关系，因此，这两个圆的位置关系不能确定，答案选D 例2. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ） A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或4 解：两圆相切有两种情况：外切和内切，当两圆外切时，两圆的圆心距d＝R＋r＝3＋2＝5，当两圆内切时，两圆的圆心距d＝R－r＝3－2＝1，答案选C 例3. 如图所示，⊙O1和⊙O2相切于P点，过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B，求证：O1A∥O2B 证明：连接O1 O2，则O1 O2必过切点P ∵O1A＝ O1P，PO2= BO2 ∴∠A＝∠APO1，∠B＝∠BPO2 又∵∠APO1＝∠BPO2 ∴∠A＝∠B ∴O1A∥O2B 说明：由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆相切的问题时，作连心线（或圆心距）是一种重要的添加辅助线的方法。 例4. 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B，PAC、PBD为⊙O2的割线，P O1的延长线交⊙O1于F，交CD于E，求证：PE⊥CD 证明：连接AB，AF ∵A，B，C，D四点共圆 ∴∠ABP＝∠C ∵∠ABP＝∠PFA ∴∠PFA＝∠C ∵PF是⊙O1的直径 ∴∠PFA＋∠FPA＝90° ∴∠C＋∠FPA＝90° ∴∠PEC＝90° 即PE⊥CD 说明：本题用了两种重要的常用的辅助线（1）遇到直径常作直径所对的圆周角（2）圆与圆相交时常连接公共弦。 例5. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r，且R≥r，R，r是方程－5x＋2＝0的两个根，设O1O2＝d （1）若d＝，试判断⊙O1和⊙O2的位置关系。 （2）若d＝3，试判断⊙O1和⊙O2的位置关系。 （3）若d＝4.5，试判断⊙O1和⊙O2的位置关系。 （4）若两圆相切，求d的值。 解：解本题的关键点： （1）一元二次方程根与系数的关系的应用 （2）两圆位置关系与两圆的圆心距、两圆半径的数量关系的应用。 例6. 已知，⊙O1和⊙O2外切于A，AB是⊙O1的直径，BD切⊙O2于D，交⊙O1于C，求证：AB·CD＝AC·BD 分析：变等积式AB·CD＝AC·BD 为比例式 连结O2D，可知O2D∥AC 则 所以，只需证即可 例7. ⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1和⊙O2分别内切于M、N，△O1O2O的周长为18，求⊙O的周长。 分析：要求⊙O的周长，关键是求⊙O的半径，设⊙O，⊙O1，⊙O2的半径分别为R，r1和r2，根据圆与圆的位置关系，用半径表示圆心距，再由O1O＋ O2O＋ O1O2＝18求出R即可。 例8. 如图，A为⊙O上一点，以A为圆心的⊙A交⊙O于B、C两点，⊙O的弦AD交公共弦BC于E点。 （1）求证：AD平分∠BDC （2）求证：AC2＝AE·AD 分析：（1）连接AB，由⊙A与⊙O相交于B、C得AB＝AC，由AB 、AC为大圆的弦，得∠BDA ＝∠CDA，即AD平分∠BDC （2）把等