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第八章 七节 抛物线 题组一 抛物线的定义及应用 1.已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| 解析：由抛物线的定义知，|FP1|＝x1＋， |FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， ∵2x2＝x1＋x3，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. 答案：C 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　) A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－2 解析：设标准方程为x2＝－2px(p＞0)， 由定义知p到准线距离为4， 故＋2＝4，∴p＝4， ∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4. 答案：C 题组二 抛物线的标准方程及几何性质 3.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是(　　) A. B. C．1 D. 解析：抛物线化标准方程为x2＝y，准线方程为y＝－，M到准线的距离为1，所以到x轴的距离等于1－＝. 答案：D 4．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是(，0)，故直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0得y＝－，故△OAF的面积为×||×|－|＝＝4，故a＝±8. 答案：B 5．(2009·宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为____________． 解析：设抛物线方程为y2＝ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4，y＝ax1，① y＝ax2，② ∴①－②得y－y＝a(x1－x2)， ∴(y1＋y2)·＝a， ∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x. 答案：y2＝4x 题组三 直线与双曲线的位置关系 6.已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　) A.或 B.或C.或 D. 解析：抛物线焦点是(，0)，设直线方程为y＝k(x－)， 代入抛物线方程，得k2x2－(3k2＋6)x－k2＝0， 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得k＝±1， ∴直线的倾斜角为或. 答案：B 7．(2010·安徽名校联考)已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为(　　) A．－ B．－C. D. 解析：由题意得M(2,2)， 设P(，y1)，Q(，y2)， 由kMP＝－kMQ，得＝－， 推得y1＋y2＝－4， 故kPQ＝＝＝－. 答案：B 8．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线方程为 ＝，即4x－ty－t＝0， 由得2tx2－4x＋t＝0， Δ＝16－4×2t20，∴t－或t. 答案：D 题组四 抛物线的综合问题 9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点． 解：(1)依题意，得＋4＝5，∴p＝2. ∴抛物线标准方程为y2＝4x. (2)证明：设圆心C的坐标为，半径为r. ∵圆心C在y轴上截得的弦长为4，∴r2＝4＋2， 故圆心C的方程为2＋(y－y0)2＝4＋2， 从而变为y－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，① 对于任意的y0∈R，方程①均成立， 故有解得 所以，圆C过定点(2,0)． 10．(2010·沈阳模拟)如图，F为抛物线y2＝2px的焦点，A(4,2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|＋|PF|的最小值为8. (1)求该抛物线的方程； (2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围． 解：(1)