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第十讲 立体几何中的多面体与球 一．复习目标 1．理解棱柱、棱锥、球的有关概念，掌握其性质；并能运用前面所学知识分析论证多面体与球内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。 2．掌握棱拄、棱锥侧面积体积的计算方法.球的表面积、体积的计算方法，理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法. 二基础知识n棱柱. 按侧棱与底面的位置关系分类: 4）特殊的四棱柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 5）长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. 由这个定理可以派生出下面的两组重要关系式：对角线与从一个顶点引出的三个面所成的角分别为，则有， 对角线与从一个顶点引出的三条棱所成的角分别为，则有， 6）棱柱的侧面积与体积公式 （1）（其中c为底面周长，h为棱柱的高） （2）（其中c1为直截面周长，l为棱柱的侧棱长） （3）（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高） 2．棱锥有关的概念 1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2）性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 Ⅱ、一般棱锥的性质 定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。 3）棱锥的体积：V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高。 3．球有关的概念 （1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 （2）球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2－d2。 （3）两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。 注意：①球面上A,B两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；②与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。 （4）球的表面积与体积：S球面=4πR2，V=4/3πR3。 4．多面体与正多面体 （1）每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。 （2）正多面体有且只有5种。分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 三．题型归类 例1．（1）若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形 解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择支，知选D. （2）长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（ ） A.1+ B.2+ C.3 D.2 解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案：C （3）一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ） 答案：B （4）若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍. A.4 B.3 C.2 D.1 解析：三球体积之比为1∶8∶27. 答案：B （5）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A.20π B.25π C.50π D.200π 解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=.∴S球=4π×R2=50π. 答案：C （6）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ） A.4 B.2 C.2 D. 解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OAO′A.所以O′AOA2O′A.因为OA=R，所以2R