等积变形定理及其应用MicrosoftWord文档.docVIP

小六2012年4.19讲课稿 等积变形定理及其应用 首都师范大学数学科学学院 周春荔 对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质： 两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。 把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。 这两条性质，是面积割补的理论基础。 定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。 推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积. 推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。 反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行. 例1. 凸四边形ABCD的两组对边中点连线EF, GH相交于O. 求证: 证明: 连接OD, OA，OB，OC.则 所以 例2.如图，四边形ABCD中，E和F分别为 对角线BD和AC的中点. 过E、F的直线交AB 和CD分别于M和N.已知△ABN的面积为25平 方厘米，求△CDM的面积. 答：25. 解：因为E是BD的中点，则； 因为F是AC的中点，则. 相加即得 例3. 右图中ABCD是个直角梯形 （）. 以AD为一边向外作长方 形ADEF，其面积为6.36平方厘米. 连结BE交AD于 P，连结PC. 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解：连接AE，BD. 因为AD//BC，则， 又AB//ED，则.所以 （平方厘米）. 例4.过梯形ABCD的顶点A作平行于腰 DC的直线交下底BC于E点，交BD于点 F. 已知三角形ABE的面积等于15，求三角 形BCF的面积. 答：15. 解：因为F为梯形ABED对角线 AE、BD的交点，所以 三角形ABF的面积=三角形DEF的面积. 连接DE. 三角形DEF的面积 =三角形CEF的面积 所以，三角形CBF的面积=三角形ABE的面积=15. 例5. 在平行四边形ABCD的边AB和AD上分 别取点E和F，使得线段EF平行于对角线BD. 求证：三角形BCE与三角形CDF等积. 证明：△BCE的面积=△BDE的面积 =△BDF的面积 =△CDF的面积 例6. 四边形ABCD中，M是AD的中点， N是BC的中点.已知 求证：AD//BC. 证明：连接AN，DN.由于MN为△AND 的一条中线，所以 又已知 所以 （等量减等量其差相等） 由于△ABN与△DCN的底边在一条直线BC上，且BN=CN，点A，D在BC同侧，由定理2可得，AD//BC. 例7．为五边形内一点， 厘米,厘米. 又////，//. 联结 求三角形的面积. 解：由得 面积为6.联结，则 所以 答: 6平方厘米. 例8. 为三角形ABC内一点,过P作 , 求证: 三角形与三角形的 面积相等. （考虑3种不同的证法） 提示: 连接A1C2, C1B2, B1A2. 面积=面积=面积 同理可得 面积=面积=面积； 面积=面积=面积； 相加得三角形与三角形的 面积相等. 例9.如图，四边形中,对角线相交于.如果四边形的面积等于2009平方厘米，求的面积. 提示：连接，利用等积变形定理得的面积为2009平方厘米. 例10.在五边形中, 如果 求证: 分析：要证 只需面积=面积. 但，有 面积=面积 但有面积=面积， 又 有面积=面积； 注意到 所以面积=面积. 因此，面积=面积，所以 例11. 已知ABCDEFG是凸七边形. 证明: 如果 和,那么 分析:要证只需证 面积=的面积. 因为有面积=的面积; 由有的面积=的面积; 由,有的面积=的面积; 由有的面积=的面积; 由,有的面积=的面积 由,有的面积=的面积,因此，面积=的面积.故得证 例12. 如图所示，正方形ABCD的面积为36 cm2，正方形EFGH的面积为256 cm2，三角形ACG的面积为27 cm2，则四边形CDHG的面积为 cm2. （第17届华杯赛初赛网络版试题） 答：77 解：由条件知，正方形ABCD的边长为6cm. 正方形EFGH的边长为16 cm. 连接EG，则 所以AC//EG. 因此ACGE是梯形， 所以. 即27=，所以EC= 9， 因此CH==7，因为四边形CDHG是个梯形， 所以四边形CDHG的面积 =（cm2）. 定