概率论与数理统计第四章第二节方差.docVIP

第二节 方差 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 教学目标：掌握数学方差的概念，以及其性质与计算 教学重点：数学方差概念、性质及计算 教学难点：数学方差的计算 教学内容： 一、 方差的定义 定义1 设是一个随机变量, 若存在,则称它为的方差, 记为 方差的算术平方根称为标准差或均方差, 它与具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用. 方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性. 从方差的定义易见: (1)若的取值比较集中,则方差较小; (2)若的取值比较分散,则方差较大; (3)若方差, 则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了. 二、 方差的计算 若是离散型随机变量,且其概率分布为 则 若是连续型随机变量,且其概率密度为 则 利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式: . 三、方差的性质 1. 设常数, 则; 2. 若是随机变量, 若是常数, 则 3. 设是两个随机向量,则 特别地, 若相互独立, 则 注: 对维情形, 有: 若相互独立, 则 例题选讲: 方差的计算 例1 (讲义例1) 设随机变量具有数学期望方差 记 则 的数学期望为0, 方差为1. 称为X的标准化变量. 例2 (讲义例2) 设随机变量具有分布, 其分布律为 求 例3 (讲义例3) 设 求 例4 (讲义例4) 设 求 例5 (讲义例5) 设随机变量服从指数分布, 其概率密度为 其中 求 方差的性质 例6 (讲义例6) 设, 求 例7 (讲义例7) 设 求 课堂练习 1. 设随机变量的密度函数为 求 2. 设随机变量的概率分布律为 试求及的期望与方差. 课后作业： P88 T 5、8、9