三次函数性态五个要点.docVIP

PAGE PAGE 4 三次函数性态的五个要点 厦门六中 黄银旺 三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。 要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数 简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。 据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。 论证如下： 令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。 ①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点； ②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点； x (-∞,x0) x0 （x0，+∞) f/（x） + 0 + f(x) ↗ ↖ ③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。 [试题链接]：错解剖析 例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。 解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1， ∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标， 将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式， 得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]， 化简为（b+1）2=4c ∵b＞-1，c＞0， ∴b=-1+2c1/2 （Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc， F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0， 令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c）， 当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x0； 当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（ 设x1＜x2）， 综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。 由Δ=4（b2-3c）≥0得b≤- 3c或b≥3c。 ∵b=-1+2c，∴-1+2c≤3c或-1+2c≥3c，解之得0＜c≤7-4?31/2或c≥7+4?31/2，故所求c的范围是（0，7-4?31/2]∪ [7+4?31/2，+∞） 点评：第一小问解的好，但第二小问的解答却出了一点错误，错因剖析如下： 把函数有极值的问题转化为一元二次方程F/（x）= 3x2+4bx+b2+c=0有实根，即Δ≥0。忽略了极值存在必须检验F′（x）的符号这一重要细节， 若Δ=0，则F′（x）=0有一对等根x0，F/（x）的取值符号如下表： x (-∞,x0) x0 （x0，+∞) F/（x） + 0 + F(x) ↗ ↗ 可知x=x0不是函数F(x)的极值点。 （Ⅱ）正确解法如下： ∵F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc， ∴ 令F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0 ①当Δ=16b2-12(b2+c)＞0时， F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（ 令x1＜x2）， F′（x）的取值变化如下表： x (-∞,x1) x1 （x1，x2） x1 （x1，+∞) F/（x） + 0 - 0 + F（x） ↗ ↘ ↗ ∴ x=x1是函数F(x)的极大值点，x=x2是它的极小值点。 由Δ=4（b2-3c）＞0得b＜- 3c或b＞3c， b=-1+2c代入得0＜c＜或c＞。 ②.当Δ=0时， F/（x）=0有一对等根x0，F/（x）的取值规律如下表： x (-∞,x0) x0 （x0，+∞) F/（x） + 0 + F(x) ↗ ↗ ∴函数F(x)此时不存在极值点。 综上所述可知，当且仅当 Δ