对角化矩阵的深度思考--160919312.doc

毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用 毕业论文（设计）承诺书 本人郑重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的. 3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果. 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负. 学生（签名）： 2015 年4月25日 对角化矩阵的应用 摘 要 矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值. 【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换 Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value. [Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 目 录 引 言 1 1矩阵对角化 1 1.1矩阵对角化的几个条件 1 1.2对角化矩阵的性质 3 1.3 矩阵对角化的方法 5 2对角化矩阵的应用 5 2.1求方阵的高次幂 5 2.2反求矩阵 6 2.3判断矩阵是否相似 7 2.4求特殊矩阵的特征值 7 2.5在向量空间中应用 7 2.6在线性变换中应用 7 2.7求数列通项公式与极限 8 2.8求行列式的值 11 2.9对角化矩阵在其他方面的应用 12 参考文献 14 致 谢 15 引 言 现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用. 1矩阵对角化 我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件 引理 设,且 , 则存在可逆矩阵,使可同时对角化. 引理 如果的个对角元互不相同,矩阵,那么当且仅当本身就是对角阵. 因为任何一个幂等矩阵一定相似于一个对角矩阵,所以任何一个对角矩阵