几类高斯过程Karhunen-Loève展开及再生核希尔伯特空间.doc

国内图书分类号：O211.61 国际图书分类号：519.21  学校代码：10213 密级：公开 理学硕士学位论文 几类高斯过程的 Karhunen-Loève 展开及 再生核希尔伯特空间 硕 士 研 究 生：  王敏慧 导 师： 刘国庆副教授 申 请 学 位： 理学硕士 学 科： 概率论与数理统计 所 在 单 位： 答 辩 日 期： 授予学位单位： 理学院数学系 2010 年 6 月 哈尔滨工业大学 Classified Index: O211.61 U.D.C.: 519.21 Dissertation for the Master Degree in Science KARHUNEN-LOèVE EXPANSIONS AND REPRODUCING KERNEL HILBERT SPACES OF SEVERAL TYPES OF GAUSSIAN PROCESSES Candidate： Supervisor： Academic Degree Applied for： Speciality： Affiliation： Date of Defence：  Wang Minhui Assoc. Prof. Liu Guoqing Master of Science Probability Theory and Mathematical Statistics Department of Mathematics June, 2010 Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 摘  要 在概率统计中，高斯过程是一种普遍存在和重要的随机过程，而再生核希 尔伯特空间是计算数学的重要理论。高斯过程的 Karhunen-Loève 展开及再生核 希尔伯特空间与许多领域有密切的联系，如：紧算子、正定函数、格林函数、 共形映照、正交基、支持向量机、小球估计、矩阵、谱分解、核函数。通过对 高斯过程的 Karhunen-Loève 展开及再生核希尔伯特空间问题的研究，可以使我 们准确地把握一些高斯过程的级数展开，该级数的各项系数是不相关的，还可 以利用高斯过程的协方差函数构造再生核希尔伯特空间，这样可以使我们在解 决小波变换、随机过程处理、信号处理、机器学习等学科领域的问题时更加灵 活方便。 本课题“几类高斯过程的 Karhunen-Loève 展开及再生核希尔伯特空间”是 属于高斯随机过程与再生核希尔伯特空间的交叉领域的研究课题，主要针对零 均值高斯过程，利用 Mercer 定理和再生核希尔伯特空间理论，给出三类高斯过 程的 Karhunen-Loève 展开式及再生核希尔伯特空间，本文主要研究如下两个方 面的问题： （1）高斯过程的 Karhunen-Loève 展开：对于零均值高斯过程，一是利用 Mercer 定理得到第一类及第二类高斯过程的 Karhunen-Loève 展开；二是利用 Mercer 定理和 Bessel 函数的性质研究了第三类高斯过程的 Karhunen-Loève 展 开。 （2）高斯过程的再生核希尔伯特空间：首先利用再生核的截口进行扩展和 完备化构造再生核希尔伯特空间；其次利用 Mercer 定理，用特征函数为基函数 构造再生核希尔伯特空间；最后给出这三类高斯过程相应的再生核希尔伯特空 间。 本文的构成如下：第一章绪论中将介绍本课题的相关情况；第二章研究第 一类高斯过程的 Karhunen-Loève 展开；第二类高斯过程的 Karhunen-Loève 展 开在第三章中给出；第四章给出了第三类高斯过程的 Karhunen-Loève 展开；最 -I- 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 后一章构造高斯过程的再生核希尔伯特空间。 关键词：Karhunen-Loève 展开；再生核希尔伯特空间；高斯过程；Mercer 定理； Bessel 函数 - II - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 Abstract In probability and statistics, the Gaussian process is a common and important stochastic process, and reproducing kernel Hilbert space is an important theory of computational mathematics. Karhunen-Loève expansion and reproducing kernel Hilbert space of Gaussian process have closely con