两个随机流行病模型稳定性.doc

摘  要  本论文通过在确定性模型中引入随机效应构建随机模型，第 一个确定性模型为Ｌｉｕ在文献［１１６尸研究过的ＳＶＩＲ流行病模型，另 外一个为Ｑｉ在文献［２】中提出的血吸虫模型．考虑它们各自在地方 病平衡点以及相关参数附近具有白噪音扰动，我们通过构造合适 的李雅谱诺夫函数证明了所得随机模型地方病和无病平衡态的局 部渐近稳定性． 论文的大致框架如下： 第一章，介绍了两个确定性模型以及相关结论． 第二章，介绍了随机稳定性的相关知识． 第三章，构建随机模型并讨论了无病和地方病平衡态的局部渐 近稳定性． 第四章，结论与展望． 关键词：局部渐近稳定性；随机扰动；李雅谱诺夫函数；白噪 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ａｂ ｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｗｏ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃ． ｉｎｇ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｉｔｙ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ．Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ  ｏｎｅ ｉｓ  ａ  ＳＶＩＲ ｍｏｄｅｌ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｂｙ  Ｌｉｕ【１】．Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｉｓ  ａ  ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｉ． ａｓｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｂｙ  Ｑｉ［２】．Ａｌｌｏｗｉｎｇ ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｅｎｄｅｍｉｃ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｓ，ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｌｏｃａｌｌｙ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｂｙ ｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．  ｃｏｎ．  Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓ  ａｒｅ  ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ  ａｓ  ｆｏｌｌｏｗｓ：  Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｗｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓ．  Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅ ｒｅｖｉｅｗ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．  ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｂｏｕｔ  Ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｗｏ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ  ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌｌｙ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ  ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ．  Ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｔｈ ｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｎｄ  ｐｒｏｓｐｅｃｔｓ．  Ｋｅｙ  Ｗｏｒｄｓ：ｌｏｃａｌｌｙ  ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ；  Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ．  一Ⅳ一 Ｃｏｎｔｅｎｔｓ Ａｂｓｔｒａｃｔ（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）………．………………………………………………．ｉｉｉ Ａｂｓｔｒａｃｔ（ｉｎ Ｅｎｇｌｉｓｈ）…………………………………………………………ｉ１矿 Ｐｒｅｆａｃｅ…………．…………．．……………．………．………．．……．…．…．… １ Ｃｈａｐｔｅｒ １ Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ Ｍａｉｎ Ｒｅｓｕｌｔｓ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３ １．１ ＳⅥＲｍｏｄｅｌ…………………………………………………………．．３ １．２ Ｓｃｈｉｓｔｏｓｏｍｉａｓｉｓｍｏｄｅｌ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５ Ｃｈａｐｔｅｒ ２ Ｔｈｅ Ｂａｓｉｃ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ａｂｏｕｔ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ………………．． ８ Ｃｈａｐｔｅｒ ３ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｍｏｄｅｌｓ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１ ３．１ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ＳＶＩＲｍｏｄｅｌ…………………………………………………１１ ３．１．１ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆｔｈｅ ｅｎｄｅｍｉｃ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ………………………ｌｌ ３．１．２ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｅａｓｅ．ｆｒｅｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ…………………．．１ ６ ３．２