拟不变凸集值优化问题严有效解最优性条件.doc

南昌大学 硕士学位论文 拟不变凸集值优化问题严有效解的最优性条件 姓名：谢燕霞 申请学位级别：硕士 专业：运筹学与控制论 指导教师：徐义红 201106 摘要  摘  要  本文在赋范线性空间中借助切导数研究集值优化问题的严有效性．当目标 函数和约束函数相对于同一向量函数为拟不变凸时，利用凸集分离定理给出了 集值优化问题取得严有效元的Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅｒ型最优性必要条件．利用切导数的性 质，用构造性方法得到了拟不变凸集值优化问题取得严有效元的充分条件． 关键词：严有效性；拟不变凸函数；最优性条件 ＩＩ Ａｂｓｔｒａｃｔ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎ ｎｏｒｍｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅｓ，ｔｈｅ ｓｅｔ－ｖａｌｕｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ  ｓｅｎｓｅ ｏｆ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ、＾，ｉｍ ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｔａｎｇｅｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．Ｗｈｅｎ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｍ ｔｈｅ ｓａｍｅ  ｖｅｃｔｏｒ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ  ｃｏｎｖｅｘ  ｓｅｔｓ， Ｋｕｈｎ  ｔｙｐｅ  ｎｅｃｅｓｓａｒｙ  ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ａｔｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｓｅｔ  ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ  ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｉｔｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏｍｉｎｇｅｎｔ ｔａｎｇｅｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｐｔｉｍｆｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉＳ ａｌｓｏ ａｔｔａｉｎｅｄ．．  Ｋｅｙ  Ｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｓｅｔ－ｖａｌｕｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ； ＩＩＩ 第１章绪论 第１章绪论 随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化理论与方法已成 为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共 管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用．随着最优化理论 研究的不断深入及其在非线性系统、控制理论、广义方程、逼近论、变分学与 最优控制等领域有广泛的应用，而集值优化问题的最优性条件是其中的重要组 成部分，是建立现优化算法的重要组成部分． 下面我们从集值优化问题的严有效性方面概述一些与本文研究内容密切相 关的结果． 设Ｘ为局部凸拓扑线性空间，】，，Ｚ为Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ的局部凸拓扑线性空间， Ｃ，Ｄ分别为，，，Ｚ中的闭、凸、点锥．设Ｆ：Ｘ一２ｚ，Ｇ：Ｘ一２ｙ是集值映射． 考虑如下的集值优化问题：  （ＶＯＰ）  ｍｉｎ  Ｆ（ｘ）  ｓ．ｔ．Ｇ（ｘ）ｎ（一ｃ）≠ｆ２ｊ，ｘ∈Ｘ． 本论文用（ＶＯＰ）表示上述集值优化问题． 不少的学者对集值优化问题的各种有效解的最优性条件进行研究，Ｌｉ Ｚ．Ｍ【ｌｌ 建立了在弱有效意义下（ｖｏＰ）的Ｆｒｉｔｚ Ｊｏｈｎ和Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅｒ型非导数最优性条 件．Ｌｉ Ｚ．Ｆ１２，３１建立了在弱有效解和Ｂｅｎｓｏｎ真有效解意义下的Ｌａｇｒａｎｇｅ型最优性 条件．Ｘｕ ＹＨ【４，５】在近似锥次类凸假设下给出Ｔ（ｖｏＰ）超有效元Ｌａｇｒａｎｇｅ型最优 性条件及在近似锥次类凸假设下（ＶＯＰ）强有效元的Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅｒ型非导数最优 性条件．Ｓａｃｈ ＥＨ［６】在近似锥次类凸假设下利用鞍点刻画了弱有效解Ｂｅｎｓｏｎ真 有效解的最优性条件． 另一方面，由于有效点、弱有效点的范围太大，其他有效性的概念相继被 提出．Ｂｏｒｗｅｉｎ［７，ｓ］提出的超有效点的概念统一了Ｂｅｎｓｏｎ、Ｈｅｉｎｇ等先后提出的 真有效点，并能用严格正泛函来标量化，因此引起学者们的极大关注和兴 趣．Ｚｈｅｎｇ［９Ａｏ】把超有效解的概念从赋范空间推广至局部凸拓扑线性空间，并研 第１章绪论 究了它的存在性，标量化，稠密性等问题．但是Ｂｏｒｗｅｉｎ超有效点的存在性却 很强，即使象紧凸集这样的集合都难以保证超有效点的存在．由此傅万涛１１１，１２１ 提出了严有效点的概念，它有良好的性质，即每个严有效点都能用严格正泛函 进行标量化，同时它保持了超有效点的主要性质，而且存在条件比超有效点弱 得多．因此，研究集值优化问题在严有效解意义下