迁移理论中谱映定理及临界谱稳定性.doc

摘  要  在采用泛函分析方法求解积分一一微分方程时，谱分析是构造方程解的核心和疑难问 题．本文研究了迁移理论中的一些问题，具体说来有：讨论了具有零进入边界条件迁移模 型的谱映射定理，这是对临界谱理论的一个应用；证明了具有反弹边界条件迁移模型临界 谱的稳定性．文章的最后给出并分析了一些尚需解决的问题． 关键词：扰动岛－半群，零进入边界，反弹边界，迁移模型，范数连续，临界谱，谱映射定 理 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ  ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ  ａ ｃｏｒｅ  ａｎｄ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａ－  ｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｔｈｅｏｒｙ  ａｒｅ  ｓｔｕｄｉｅｄ，ｉｎ ｄｅｔａｉｌ：Ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｍａｐｐｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｚｅｒｏ－ｒｅｅｎｔｒｙ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ， ａｎｄ  ｔｈｉｓ ｉｓ  ａｌｌ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｐｅｃｔｒｕｍ；Ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｐｅｃ－  ｔｒｕｍ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｃｅ－ｂａｃｋ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｓｏｍｅ  ｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ  ａｒｅ  ｐｒｏｖｉｄｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ．  Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ Ｃｏ—Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ，Ｚｅｒｏ－ｒｅｅｎｔｒｙ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，Ｂｏｕｎｃｅ－ｂａｃｋ  Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ  Ｍｏｄｅｌ，Ｎｏｒｍ Ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ，Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ，Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｍａｐｐｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｌｌ §１  引言  迁移理论是研究大块物质（介质）中，由于粒子（分子、中子、电子等）运动而产生的 微观综合所致的宏观迁移现象的规律．这里所说的粒子在介质中的运动包含两个内容：粒 子的空间“漂移＂，粒子与粒子、粒子与介质之间的相互作用．迁移方程是构成迁移理论的 基础，它是在运用统计方法的同时对粒子相互作用引入一些经典力学理论，按照守恒原理 推得的数学表述，它在测度的一般理论下是一类积分一一微分方程． 由于二次世界大战的刺激，中子物理在二十世纪三十年代获得了极大的发展，一类描 述中子在介质中迁移的理论随之产生．至七十年代，迁移理论的数学模式和方法渗透到 了医学和社会学领域．然而这个多学科边缘性科研领域的数学理论至今还不成熟，仍需 数学工作者继续努力．用泛函分析方法求解此类积分一一微分方程的抽象发展方程，谱分 析是构造方程解的核心和疑难问题．近十年来，由于新的泛函分析工具的产生（见文献 【１，２，３，４，５】及相关参考文献）使得迁移理论的研究重新得到了关注． 设Ｂａｎ础空间ｘ上岛－半群（Ｕ（￡））ｔ≥ｏ的生成元为Ｔ：Ｄ（Ｔ）ｃ Ｃａｕｃｈｙ初值问题 、 ｜譬（  Ｘ＿Ｘ．考虑以下 ＼上  其中咖∈ｘ，Ｋ是弘有界算子（即Ｄ（Ｔ）ｃ Ｄ（Ｋ），Ｋ在Ｄ（Ｔ）上是有界的，Ｄ（Ｔ）被赋 予图范数）使得 ，＾ ／ＩＩＫＵ（ｓ）ｘｆｌｄｓ≤ｑ（ｈ）ｌｌｘｌｌ，ｚ∈Ｘ，ｈ≥０ 这里ｇ：Ｒ＋＿Ⅱ～（Ｒ＋＝（ｏ，ｏ。））满足船ｇ（ｔ）＝０?由Ｍｉｙａｄｅｒａ－Ｖｏｉｇｔ扰动定理， Ａ：＝丁＋Ⅳ在定义域Ｄ（Ａ）＝Ｄ（Ｔ）上生成扰动岛－半群（ｙ（￡））ｔ≥ｏ由以下Ｄｙｓｏｎ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓ 展开式表示  ｙ（￡）＝∑ｕＡｔ）  （１．２） ｊ－－ｏ 其中 ，ｔ Ｕｏ（ｔ）＝ｕ（￡），％（￡）＝／％一１（￡一ｓ）ＫＵｏ（ｓ）ｄｓ，０≥１）． 于是，Ｃａｕｃｈｙ问题（１．１）具有唯一解妒（￡）＝ｙ（￡）９０．为了进一步的研究方程的解，比如解 的大时间渐进行为，必须要分析算子丁＋Ｋ或者算子半群（ｙ（￡））ｔ≥ｏ的谱． １ 记Ｒｋ（ｔ）为Ｄｙｓｏｎ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓ展开式（１．２）的七阶余项  风（￡）：＝∑ｕｊ（ｔ）．  （１．３） Ｊ＝七 由文献【２，３，４】，Ｒｋ（ｔ）（七≥１为某一正整数）的紧性蕴含本质增长阶稳定，即‰（ｙ（￡））＝ ‰（Ｕ（￡）），特别