六年级奥数6整除及数字整除特征.doc

6、整除及数字整除特征 　　【数字整除特征】 　　例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。 　　（上海市第五届小学数学竞赛试题） 　　讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。 　　设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。 　　又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。 　　所以a-b=3。 　　又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。 　　从而很容易求出商为427284÷99=4316。 　　例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。 　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 　　讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。 　　而1993000÷2520=790余2200。 　　于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。 　　例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。 　　（上海市第五届小学数学竞赛试题） 　　讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。 　　要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。 　　则有 b-a=8，或者a-b=3。 　　①当 b-a=8时，b可取9、8； 　　②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。 　　所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。 　　例4 下面这个四十一位数 　　55……5□99……9 　　（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。 　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题） 　　讲析：注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。 　　要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。 　　容易得出，中间方格内的数字是6。 　　【整除】 　　例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。 　　（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题） 　　讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。 　　3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。 　　例2 一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。 　　（《现代小学数学》邀请赛试题） 　　讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。 　　因为3、5和7的最小公倍数是105。 　　3600÷105=34余30，105-30=75， 　　所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。 　　例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。 　　（中南地区小学数学竞赛试题） 　　讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。 　　又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。 　　结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。 　　例4 a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 　　讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。 　　只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。 　　联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。 　　例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又