北京石景山区2011年高三统一测试数学试题（理科.doc

北京石景山区2011年高三统一测试 数学试题（理科） 考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则 （ ） A．MN B．NM C． D． 2．若是虚数单位，则乘积的值是 （ ） A．-15 B．3 C．-3 D．5 3．已知等差数列的前项和为，若 （ ） A．72 B．68 C．54 D．90 4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积是 （ ） A． B． C．2 D． 5．已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么 （ ） A． B． C． D． 6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为 （ ） A．16 B．18 C．24 D．32 7．已知椭圆的焦点为，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为 （ ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在中，角A，B，C所对应的边分别为，则角A的大小为 ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的的值是 ． 11．在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则圆C的普通方程为 ，直线与圆C的位置关系是 。 12．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 。 13．已知两定点，若直线上存在点P，使得，则该直线为“A型直线”。给出下列直线，其中是“A型直线”的是 。 ① ② ③ ④ 14．函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为， ，数列的通项公式为 ． 三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，角A，B，C所对应的边分别为 （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求的最大值． 16．（本小题满分13分） 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。 （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。 17．（本小题满分14分） 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1 （Ⅰ）求证：EF//平面ACD1； （Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值； （Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分13分） 已知函数 （Ⅰ）当在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 19．（本小题满分13分） 已知椭圆经过点，离心率为，动点 （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程； （Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值． 20．（本小题满分14分） 已知定义在R上的函数和数列，当时，，其中均为非零常数． （Ⅰ）若数列是等差数列，求的值； （Ⅱ）令，求数列的通项公式； （Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．