实验报告常微分方程的数值解法.doc

实验报告 实验项目名称 常微分方程的数值解法 实　验　室　数学实验室　　 所属课程名称 微分方程数值解 实 验 类 型 上机实验 实 验 日 期 2013年3月11日 班 级 10信息与计算科学 学 号 2010119421 姓 名 叶达伟 成 绩 实验概述： 【实验目的及要求】 运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。 【实验原理】 各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。 【实验环境】（使用的软硬件） Matlab软件 实验内容： 【实验方案设计】 我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 我们首先来回顾一下原题： 对于给定初值问题： 1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形； 2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度; 3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5； 4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5； 5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。 下面，我们分五个步骤来完成这个问题： 步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab画出其图形； ，用Matlab做出函数在上的图像，见下图： 图一 初值问题的解析解的图像 步骤二，采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度; 我们采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图： 图二 Euler方法的计算结果与解析解的比较 从图像中不难看出，采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图： 图三 不同步长的Euler法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler法比步长为0.5的Euler法的精度更高。 步骤三，采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5； 我们采用改进Euler法求解，步长取0.5，数值解如下图： 图四 改进Euler法的计算结果与解析解的比较 步骤四，采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5； 我们采用四级Runge-Kutta求解，步长取0.5，数值解如下图： 图五 四级RK方法的计算结果与解析解的比较 步骤五，采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。 我们采用Adams四阶隐格式计算公式求解，数值解如下图： 图六 Adams四阶隐格式的计算结果与解析解的比较 由于采用Adams四阶隐格式计算出来的数值解在时的量级为在时的量级为，因此，在Matlab图像处理中，将纵坐标的量级定为（不然，若纵坐标量级取大一些，解析解与水平轴几乎重合。） 为了将Adams四阶隐格式计算出来的数值解全部呈现出来，又作了一张只有该数值解的图像，详见下图： 图七 Adams四阶隐格式的计算结果 最后，我们总结一下各种方法计算出来的数值解与解析解之间的绝对误差，详见下表： Euler法 改进Euler法 四级RK方法 四阶Adams隐格式方法 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 表一 步长为0.5时各种数值解法的计算结果与解析解之间的绝对误差 由于本题中步长h取为取值0.5，步长取值较大，计算结果与精确解之间的误差较大，难以判断各种数值方法的计算精度。因此，我在本题的基础上进行了拓展，将步长取为0.05，进一步研究各种方法的计算精度。 从先前的例子中可以看出，误差主要是在t取值接近5的时候出现，所以在步长h=0.05时重点研究的计算结果与解析解之间的绝对误差，以比较各种方法的计算精度。绝对误差情况详见下表： Euler法 改进Euler法 四级RK方法 四阶Adams隐格式方法 4.5