工程数学--线性代数课后题答案_第五版05.doc

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1); 解 根据施密特正交化方法? , , ? (2)? 解 根据施密特正交化方法? ? ? ? 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2). 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 证明 因为 HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT? 所以H是对称矩阵? 因为 HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E? 所以H是正交矩阵? 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明 因为A? B是n阶正交阵, 故A?1?AT? B?1?BT? (AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E? 故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 ? 故A的特征值为???1(三重). 对于特征值???1? 由 ? 得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 1? ?1)T? 向量p1就是对应于特征值???1的特征值向量. (2); 解 ? 故A的特征值为?1?0? ?2??1? ?3?9. 对于特征值?1?0, 由 ? 得方程Ax?0的基础解系p1?(?1? ?1? 1)T? 向量p1是对应于特征值?1?0的特征值向量. 对于特征值?2??1, 由 ? 得方程(A?E)x?0的基础解系p2?(?1? 1? 0)T? 向量p2就是对应于特征值?2??1的特征值向量? 对于特征值?3?9, 由 ? 得方程(A?9E)x?0的基础解系p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量p3就是对应于特征值?3?9的特征值向量. (3). 解 ? 故A的特征值为?1??2??1? ?3??4?1. 对于特征值?1??2??1, 由 ? 得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量p1和p2是对应于特征值?1??2??1的线性无关特征值向量. 对于特征值?3??4?1, 由 ? 得方程(A?E)x?0的基础解系p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量p3和p4是对应于特征值?3??4?1的线性无关特征值向量. 6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同? 证明 因为 |AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|? 所以AT与A的特征多项式相同? 从而AT与A的特征值相同? 7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量? 证明 设R(A)?r? R(B)?t? 则r?t?n? 若a1? a2? ???? an?r是齐次方程组Ax?0的基础解系? 显然它们是A的对应于特征值??0的线性无关的特征向量? 类似地? 设b1? b2? ???? bn?t是齐次方程组Bx?0的基础解系? 则它们是B的对应于特征值??0的线性无关的特征向量? 由于(n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必线性相关? 于是有不全为0的数k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln?t? 使 k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0? 记 ??k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r)? 则k1? k2? ???? kn?r不全为0? 否则l1? l2? ???? ln?t不全为0? 而 l1b1?l