清华大学微积分偏导数和全微分教材.ppt

* * * * * 10.2 多元函数的偏导数 10.2.1 偏导数 偏导数的定义 则称为函数 在点 关于变量x 的偏导数. 设二元函数 若极限 存在， 对于 n 元函数 若极限 等. 记作: 存在, 则称为 等. 记作 通常记作 更方便. 对变量 的偏导数. 在点 例1： 对变量x求导 解： 将y看作常数, 在计算 时, 二元函数 同理有 例2: 解： 三元函数 偏导数存在 连续 偏导数存在与连续: Very Important! 例3： 无极限，不连续！ 偏导数存在. 连续 偏导数存在 例4： 初等函数，连续. 不存在！ 而 方向导数 设 是单位向量, 存在, 若 点沿 的方向导数， 则称为f 在 记作 方向导数与偏导数间的关系 设 是 的一组标准正交基, 方向的方向导数就是偏导数. 点沿这n个 f 在 10.2.2 高阶偏导数 定理： 若在某点其两个二 一般来说, 高阶混合偏导数与求导顺序有关！ 什么情况下, 混合偏导数与求导次序无关呢？ 对于n元函数 阶混合偏导函数 ， 都连续, 证明: 记(只对二元函数证明) 不一定等于 即 则相等. 则 同理： 令 有， 例 10.3 多元函数的微分 10.3.1 微分的概念 一元函数微分的概念： 多元函数的可微与微分 若存在常向量 使得 (*) 则称函数 在点 可微, 称为微分. 定理： 在 可微, (*)成立, 则 连续. 若 且 特别地, 在点 的各偏导数都存 记 则 在, 证明： 时, □ 10.3.2 函数可微的充分条件 定理 证明： 若函数 f 各偏导函数 在某点都连续, 则在该点可微. 可微): (偏导连续 □ 一元函数微分： 多元函数微分： 式中a称为导数. 称为梯度, 式中 由上面定理知,函数沿梯度方向的方向导数最大. 例5: 求: 解: 记作 例6： 切向量的方向导数. 求f 在 (1,2) 沿 的 解： 在 (1,2) 切向量 单位化 梯度与微分的几何意义 —表示平面. —表示平面, 记作 称为曲面 在点 的切平面！ 梯度与微分的几何意义 例7：1) 在(1,1)处切平面 2) 即 切平面 在 例8 研究该函数在原点是否存在偏导数,是否可微. 解 所以 下面证明该函数在原点不可微. 则 f (x,y) 在 (0,0) 的微分是 若该函数在原点可微, 根据微分定义， 但是容易证明: 事实上， 因此根据微分定义推出该函数在原点不可微 . 例9 考察该函数在原点是否可微，偏导数是否连续. 1.证明函数在原点可微. 计算得到 容易看出： 在原点自变量的改变量是 所以 并且 2.证明该函数的偏导数在原点不连续. 没有极限. 从而 同样的方法可以证明： 10.3.4 二元函数的原函数问题 设函数 连续, 问 是否某个函数 的微分？ (全微分) 若是, 则称 是 的一个原函数. “必要条件”: 若 有连续的偏导数, 且 有原函数, 则 证明: 二阶混合 偏导连续 时必相等 例10 求 的原函数. 解: 从而有 因为 所以 即 数学名家介绍 (二) 泰勒(Taylor, Brook, 1665.8.18-1731.12.29) 英国数学家.生于埃德蒙顿，卒于伦敦.1709年获法学博士学位.1712年当选为皇家学会会员.他和哈雷、牛顿是亲密的朋友.在数学方面，他主要从事函数性质的研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一书，书中发表了将函数展成级数的一般公式，这一级数后来被称为泰勒级数.他还研究了插值法的某些原理，并用这种计算方法研究弦振动问题、光程微分方程的确定问题等.泰勒在音乐和绘画方面也极有才能.另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年. 作业 P53 2, 3(2)(5)(6)(7), 4(4)(5)(7) P63 1(3)(5) 2, 3, 5, 6 * * * * * * * * * * * * * * * * *