曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘教材.ppt

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2016-12-01 发布于湖北
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曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘教材.ppt

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* 一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线第3节曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘三、函数图形的描绘下一页上一页返回　如图所示，曲线弧ABC部分是向下弯曲的，这时曲线位于切线的下方；而曲线弧CDE部分是向上弯曲的，曲线位于切线的上方．一、曲线的凹凸性与拐点 C A y E B D x O a c b 下一页上一页返回定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称这条曲线弧是凹的；如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称这条曲线弧是凸的．定理　设函数 f(x) 在(a, b)内具有二阶导数. （证明从略）下一页上一页返回例1 判断曲线 y=x3 的凹凸性．解下一页上一页返回定义连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，称为曲线 y=f(x)的拐点．分析：由上述定理可知，以判断曲线的凹凸. 如果就是曲线的一个拐点．另外，二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点．下一页上一页返回判定曲线 y=f(x)的拐点的一般步骤： (1)确定y=f(x)的定义域. (2)求f ?(x)，f ??(x)，令f ??(x)=0，求出所有可能拐点x0. (3)考察 f ??(x)在每个可能拐点 x0左右两侧的符号，如果 f ??(x)的符号相反，则点(x0 , f(x0)) 是拐点，否则就不是．下一页上一页返回例2 求曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸区间与拐点．解　(1) 定义域为(? ?, ? ?). (2) f? (x) = 3x2 - 12x + 9， f ?(x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )，令 f ?(x) = 0，得 x = 2. (3)当 x ? (? ?, 2) 时， f ?(x) 0，此区间为凸区间．当 x ? (2, + ?) 时， f ?(x) 0，此区间是凹区间. 下一页上一页返回例3 求曲线 f (x) = (2x-1) 4+ 1 的凹凸性，并求拐点．解　(1) 定义域为(? ?, ? ?). (2) f? (x) = 8(2x-1)3 , f ?(x) = 48(2x-1)2 , 令 f ?(x) = 0，可得 x = 1/2. (3) 因为当x≠1/2时，f ? (x)0 ，所以该曲线在整个定义区间内都是凹的，曲线没有拐点．下一页上一页返回要想完整地描绘出函数的图形，除了要知道其升降，凹凸性，极值和拐点等性态外，还须了解曲线无限远离坐标原点时的变化状况，这就是下面要讨论的曲线的渐近线问题．在此，我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线．二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线下一页上一页返回引例（如图所示） y x O y = arctan x 下一页上一页返回 y x=1 x O 1 (2, 0) y = ln( x-1) （如图所示）下一页上一页返回定义则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线. 则称直线 x=x0 为曲线 y = f (x) 的垂直渐近线. 下一页上一页返回所以的两条水平渐近线. 例如下一页上一页返回通过利用导数研究函数性态，进而描绘函数的图形的一般步骤： (1) 确定函数 y=f(x) 的定义域，并考察其奇偶性、周期性等；三、函数图形的描绘确定所有可能的极值点和拐点；下一页上一页返回 (4) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (5) 根据需要补充函数图形上若干特殊点(如与坐标轴的交点等)； (6) 描图. （3）列表讨论函数的单调性、极值及函数图形的凹凸性和拐点；下一页上一页返回解　(1) 函数定义域为 (- ?,? ?),函数为奇函数，其图形关于原点对称． (2) f ?(x) = 3x2-3 =3(x+1)(x-1), 例4