新GRE数学深刻理解组合与排列的区别与联系.doc

§10.3 组合（2） 深刻理解组合与排列的区别与联系，提高学生抽象思维及分析问题的能力。 掌握组合数公式，并能利用它们解决一些简单的应用问题。 教学过程 复习回顾 排列的概念、组合的概念。 排列与组合的区别与联系。 排列数公式、组合数公式。 例题精讲 例1.教科书10.3例题2：求证C=C. 目的：让学生掌握组合数公式（证明略） 变式：求证C=C. 学生证明后,指出上式可改写为：m·C=n·C. 注：上式在化简有组合数的和式时有一定的作用，如： 1C+2C+3C······+9C=nC+nC+nC+······+nC 例2：计算①C和C；②C—C与C；③C+C. 解：①C==15，C==15； ②C—C—=35—15=20，C==20 ③C+C=+=792 目的：为下节课学习组合数定额两个性质打好基础。 例3:①从数字1、2、5、7中任选2个，计算它们的和，试问可以得到多少个不同的和？ ②从数字1、2、5、7中任选2个，计算它们的差，试问可以得到多少个不同的差？ 解：①因为加法满足交换律，所以第一问从数字1、2、5、7中任选2个数作和，与所选数字的顺序无关，属于组合问题，因此，结果为C=6 ②从数字1、2、5、7中任取2个作差，有减数与被减数之分，因此所取两个数与顺序有关，属于排列问题。因此结果为A=4×3=12。 目的：帮助学生正确区分排列与组合。 例4:教科书例3。 分析：①以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C==45。 ②由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即A=10×9=90。 目的：培养学生如何把实际生活中的问题初步提炼为“数学模型”，从而解决问题。 例5：有不同的中文书7本，不同的英文书5本，从中选出2本书。（1）若其中一本为中文书，一本为英文书，问共有多少种不同的选法？（2）若不限条件，问有多少种不同的选法？ 分析（1）：完成这件事必须分两步进行，第一步从7本不同的中文书选出1本，第二步从5本不同的英文书中取1本，因此要用分步计数原理。C.C=35 分析(2):所选的2本书可以2本中文书,也可以是两本英文书,还可1本是中文书,1本是英文书,因此完成这件事有三类办法,要采用分步计数原理,且选取的2本书与顺序无关,它属于组合问题. 解法(1):C+C+C·C=21+10+35=66 解法(2):问题相当于12本不同的书中任意选取2本书,即为12个不同元素中取出2各不同元素的组合数,C==66 答:一共66种不同的选法. 目的:训练学生合理应用分类(步)计数原理的能力,以及将实际问题转化为”数学模型”的能力. 3．课堂练习 计算 C，3C-2C（答案：56，148） 求证：C=C 圆上有10个点，过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？（C==45） 空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面？（C=56） 4．课堂小节 由排列数和组合数的关系CA=A进一步理解排列与组合的联系和区别；排列与顺序有关，而组合与顺序无关。 解决实际问题首先看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类（步）计数原理。 布置作业 教科书习题10.3第2、3（2）、6（2）题。