热传导方程和定解条件()教材.ppt

* 1.1 弦振动方程与定解条件 给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。 * 当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得 消去 并令 * 上式化为 这个方程称为弦的自由横振动方程。 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力， 外力为零。 * 若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 轴， 设其力密度(单位长度上弦受力)为 由于弦段 很小， 其上各点处的外力近似相等， 因此作用在该段上的外力近似地等于 * 同样应用牛顿第二定律，得 消去 并令 则得弦的强迫横振动方程 受到与弦垂直方向的力的作用时，弦运动为受迫振动。 * 弦振动方程中只含有两个自变量 和 其中 表示时间， 表示位置。 由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为一维波动方程。 类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）， 它们的形式分别为 * 二、定解条件 对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量 所满足的方程还是不够的，还要附加 一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的 初始状态以及边界上的物理情况。 定解条件包括初始条件和边界条件。 初始条件： 表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在“初始”时刻的位移和速度。 初始位移 初始速度 * 边界条件： 表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。 对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet） 弦的一端的运动规律已知， 为例，若以 表示其运动规律， 则边界条件可以表达为 特别的， 若 端被固定，则相应的边界条件为 非齐次边界条件 齐次边界条件 以 * 2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 若弦的一端（例如 ）在垂直于 轴的直线 上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界 成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方 向的分量是 ，得出在自由边界时成立 若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函数， 则相应的边界条件为 非齐次边界条件 齐次边界条件 * 3、第三类边界条件（鲁宾Robin） 若弦的一端（例如 ）固定在弹性支承上， 并且弹性支承的伸缩符合胡克定律. 为 则u在端点的值表示支承在该点的伸长。 弦对支承拉力的垂直方向分量为 若支承的位置 由胡克定律得 因此在弹性支承的情形，边界条件归结为 * 在数学中也可以考虑更普遍的边界条件 非齐次边界条件 齐次边界条件 其中 是已知正数. 其中 是t的已知函数。 因此在弹性支承的情形，边界条件归结为 * 定解问题 定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题 根据定解条件的不同，定解问题又细分为： 混合问题或初边值问题； 初值问题或柯西（Cauchy）问题； 边值问题 两端固定的弦的自由振动问题 * 1.2 热传导方程与定解条件 热传导现象： 一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出热传导方程。 为此，我们用函数 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。 表示物体G 在位置 处及时刻 的温度。 * 热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行： 物体在无穷小时段 内流过一个无穷小面积 的热量 与物体温度沿曲面 法线方向 的方向导数 成正比，而热流方向与温度升高的 其中 称为物体在点 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时， 为常数， 为曲面 沿热流方向的法线. 方向相反，即 * 为了导出温度 所满足的方程, 在物体G内任取 一闭曲面 它所包围的区域记作 则从时刻 到时刻 经过曲面 流入区域 的热量为 其中 表示 对曲面的外法向导数. * 流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 中物理温度从 变化到 所需要的热量为 其中 为物体的比热, 为物体的密度. 如果所考察的物体内部没有热源, 由于热量守恒, * 先对 进行变形 利用奥-高(Gauss)公式 设函数 关于变量 具有二阶连续偏导数, 关于变量 具有一阶连续偏导数, 可化为 * 而 可化为 因此由 移项即得 （利用牛顿-莱布尼兹公式） * 由于 与区域 都是任意取的,并且被积函数 是连续的,于是得 上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程. 如果物体是均匀的,此时 为常数, 记 则得 齐次热传导方程 * 如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有 电流,或有化学反应等情况), 设热源密度(单位时 间内单位体积所产生的热量)为 则在时间间隔 中区域 内所产生的热量为 同样由于热量要平衡, * 其中 非齐次热传导方程 相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。 * 二、定解条件 初始