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* （二） 一般变额寿险 一般变额寿险的现值随机变量为 对终身寿险，其精算现值为 它可以表示为一系列固定保额的延期终身寿险的组合： 对n年定期寿险，有 * 例5.7 对(x)的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示： k 0 300000 0.02 1 350000 0.04 2 400000 0.06 假定预定利率为6%,计算这一保单的精算现值。 解：所求现值为 * 第三节 死亡时赔付的寿险精算现值 一、定期寿险 寿险一般是一被保险人死亡时赔付，这使赔付时间与被保险人的余寿相联系，设死亡时的赔付额函数为 ,则赔付的现值函数为 ，对1单位元死亡时赔付的n年定期寿险，其赔付现值随机变量为 T(x)的概率密度函数为 ，且精算现值为 * 二、终身寿险 对1单位元死亡时赔付的终身寿险，其赔付现值随机变量为 精算现值为 例5.8 某人在30岁时投保，假设生存函数在0 ～100之间均匀分布，Z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力 ,求 解： 由于生存函数在0 ～100之间均匀分布，当x=30时，剩余寿命在[0,70]间均匀分布，概率密度f(t)=1/70, 故 * 死亡时赔付的寿险精算现值，若以积分的形式表示，则在已知被保险人存活函数时才能直接估计出来。但实际中，通常只有生命表提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对前面的积分式进行变换。 在死亡均匀分布假设下，有 因此 又 故 ( 称为调整因子) * 三、两全保险 以 表示1单位元死亡时赔付两全保险的精算现值，有 在死亡均匀分布假设下，有 * 例5.9 某人在30岁的时候投保了50000元30年两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），求这一保单的趸缴净保费。 解： 在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为 * 例5.10 在例5.9中，如果契约规定在投保前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存活给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。 解： 这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为 * 四、变额寿险 对于死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元，在第k+1年内死亡赔付k+1单位元，这种寿险是标准递增寿险。此时，赔付额 ，t为死亡时间，方括号表示最大整数函数，死亡时赔付的终身递增寿险精算现值为： n年定期的死亡时赔付标准递增寿险，其精算现值为: n年定期的死亡时赔付标准递增寿险，其精算现值为: 死亡均匀分布假设下的标准变额寿险公式 终身递增寿险： n 年定期的死亡时赔付标准递增寿险: n 年标准递减的死亡时赔付寿险 如果赔付额连续递增，这时的赔付现值随机变量为 其精算现值表示为 五、关于 的计算 * 死亡时给付的寿险相当于把死亡发生年划分成m 个相等的部分，在死亡发生的那个部分的期末给付，并对m 趋于无穷大取极限。若以 表示在死亡发生的那个m 部分末给付1 单位元的终身寿险现值，则， 其中 * 例5.11 解： 由 第四节 递推公式 * 寿险现值的递推公式给出了相邻年龄上寿险现值的关系，为寿险现值的计算提供了一种工具，也有利于深入理解寿险现值的意义。 对死亡年末赔付的1 单位元的终身寿险，有， * 证明： 故 由于生命表最大年龄上的寿险现值为 利用上面的递推公式，可以从最大年龄出发，递推得到各个年龄上的寿险现值。 这一公式的直观解释：年龄为x岁的趸缴净保费 可以分解为在一年内死亡的赔付现值和一年后存活趸缴净保费这和。 * 再两边乘以(1+i),有 整理后，有 证完。 * 例5.12 假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年年末赔付。已知 解： 由公式 有 * * 第五章 人寿保险 了解传统个人寿险产品及其特点 掌握定期寿险、终身寿险、两全保险精算现值的计算 能够利用寿险精算现值递推公式解决相关问题 传统人寿保险产品 * 传统个人寿险产品的被保险人是单个人，以被保险人在保险期内死亡或生存为保险赔付或给付条件，预先规定保险金额的水平及其给付方式，并根据经验生命表和预定利率等预先确定保费水平和保单退保现金价值。 在实践中，传统个人寿险产品又分为定期寿险、终身寿险、两全保险等。 定期寿险 * 均衡保费定期寿险简称为定期寿险，保险费在约定的缴费期内均衡缴付，通常缴费期与保险期相同。 递增保费定期寿险的保险费在缴费期内递增，在实践中常见的递增保费定期寿险是每年更新定期寿险。 保额递减定期寿险