浙大2006年2008年数学分析试题及解答.doc

PAGE PAGE 11 浙江大学2006年数学分析考研试题 收敛; （2）计算 . ,有 . ; . 其中不全为0 浙江大学2006年数学分析考研试题解答 一、（1）证明 利用不等式，， 得，； 由， ； 两边对相加， 得到 ； 令，； ， 是严格递减的； ， 于是是严格递减的且有下界，根据单调有界原理,故存在。这个极限值记为，叫做Euler常数。 ， 记，， 。 解：解法一 利用，其中， ， . 解法二 . 二、证明 令 , 显然，我们证明，如若不然，存在一个点,使得， 考虑到是闭区间上的连续函数，必存在最大值，不妨设即为最大值点，, 在的一个邻域，即，，考虑到。 所以, 但是由原题条件可以得到下面这个结论 ,矛盾,所以, 所以, 由的任意性,令 得到, 于是 故得到,结论得证. 三、解 令，则显然是处处连续的， ； 在处不可导，否则，由，得矛盾。 四、解 （1）由定义 ； ， ； （2）由于 极限不存在， 所以在（0，0）点不连续; 同理可得在（0，0）点不连续. 由于 ， ， 所以函数在（0，0）点可微. 五、证明 . 由题设条件 和阿贝尔判别法，知关于是一致收敛的。 在任意上，当时，一致收敛于. 由含参量广义积分的极限定理，得。 或者 。 六、解:这是一个第二类曲面积分,我们不妨假设其方向为外法线方向. 设=,, 经演算得到, 在原点附近补一个小椭球,使其完全包含在内, 在与之间的区域,被积函数有连续偏导数，由, 满足公式 , 所以 = = (利用公式) , 或者在曲面积分时作代换 ，， , , ， ， ， ， , . 七、解 利用公式 ，. 得 . 作坐标系的旋转变换，将旋转至=0 即作正交变换 令 记 , 因为是正交变换，所以，积分区域, 所以 作柱面坐标变换 所以= , 解毕 八、解 ， 于是； ， ， 显然，此级数是收敛的。 九、证明 由条件，. 令，则有， 在上单调递减，于是， 于是， 再由条件，， 令，则有， 在上单调递增，于是， 于是， 故在上有 。 设在上连续, 在内可导,且,存在常数,对任意,有.证明在上. 证明 对任意,存在,使得 , 存在,使得, 存在,使得,, 于是,令,取极限得, , 所以在上,有; 同理可证在上,有; 在上有; 由归纳法,可证在上, 有,; 故在上. 设在上连续, 在内可导,且,存在常数,对任意,有.证明在上. 设在上连续, 在在内可导,且,存在常数,,对任意,有. 证明在上. 证明 由题设条件,可得成立 , 令,则有设在上连续, 在在内可导,且,,; 于是有在上,故有在上. 设在上连续可微,且,存在常数,使得 ,;证明在上. 证明 ， ， 令，则有， ， ， 于是， 。 浙江大学2008年数学分析考研试题 一 证明：（1）； （2）利用（1）证明：。 二 已知在处连续可导，且，试求如下极限：。 三 讨论下面级数的收敛性。 四、设函数在区间上非李普希兹连续， 证明在区间上一致连续的充分必要条件是：对任给的，总存在正数， 使得当，，满足时，就有. 五 设函数，试证函数在内连续，但在内不一致连续。 六 计算第二类曲面积分，其中为椭球面的下半部分（其中）积分正向取椭球外侧。 七、 设二元函数，其中， （1）函数在原点是否连续，是否可微？并证明你的结论； （2）讨论函数在除原点以外的其它点的连续点和可微性。 八、 设是上的连续函数，试证： ， 其中。 九、 设函数在整个数轴上连续，且， 试证：。 浙江大学2008年 数学分析考研试题解答 一、（1）证明 ； （2）利用，及， ， 即得 。 二、解 ，（）；显然 。 三、解 令， 由于 ， 所以单调递减. 又因为所以 而 即 的部分和有界， 于是,由Diric