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第01章 函数与极限习题详解 副本
第一章 函数与极限习题详解
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第一章 函数与极限
习 题 1-1
1.求下列函数的自然定义域:
(1);
解:依题意有,则函数定义域.
(2);
解:依题意有,则函数定义域.
(3);
解:依题意有,则函数定义域.
(4);
解:依题意有,则函数定义域.
(5)
解:依题意有定义域.
(6).
解:依题意有,则函数定义域.
2.已知定义域为,求
()的定义域.
解:因为定义域为,所以当时,得函数的定义域为;
当时,得函数定义域为;
当时,得函数定义域为;
当时,得函数定义域为:(1)若,;(2)若,;(3)若,.
3.设其中求函数值.
解:因为,则
,.
4.设,求与,并做出函数图形.
解:,即,
,即,函数图形略.
5.设试证:
证明:,即,得证.
6.下列各组函数中,与是否是同一函数?为什么?
(1) ;
不是,因为定义域和对应法则都不相同.
(2);
是.
(3);
不是,因为对应法则不同.
(4);
不是,因为定义域不同.
7.确定下列函数在给定区间内的单调性:
(1),;
解:当时,函数单调递增,也是单调递增,则在内也是递增的.
(2),.
解:,当时,函数单调递增,则是单调递减的,故原函数是单调递减的.
8. 判定下列函数的奇偶性.
(1);
解:因为,
所以是奇函数.
(2);
解:因为,所以是偶函数.
(3);
解:因为,,所以既非奇函数,又非偶函数.
(4).
解:因为,所以函数是偶函数.
9.设是定义在上的任意函数,证明:
(1)是偶函数,是奇函数;
(2)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.
证明:(1)令,则
,所以是偶函数,是奇函数.
(2)任意函数,由(1)可知是偶函数,是奇函数,所以命题得证.
10.证明:函数在区间上有界的充分与必要条件是:函数在上既有上界又有下界.
证明:(必要性)若函数在区间上有界,则存在正数,使得,都有成立,显然,即证得函数在区间上既有上界又有下界
(充分性)设函数在区间上既有上界,又有下界,即有,取,则有,即函数在区间上有界.
11.下列函数是否是周期函数?对于周期函数指出其周期:
(1);
周期函数,周期为.
(2);
周期函数,周期为2.
(3);
不是周期函数.
(4).
周期函数,周期为.
12.求下列函数的反函数:
(1);
解:依题意,,则,所以反函数为
.
(2);
解:依题意,,则反函数.
(3);
解:依题意,,所以反函数.
(4).
解:依题意,,所以反函数.
13.在下列各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值:
(1);
(2).
解:(1)
(2),,.
14.在一圆柱形容器内倒进某种溶液,该容器的底半径为,高为.当倒进溶液后液面的高度为时,溶液的体积为.试把表示为的函数,并指出其定义区间.
解:依题意有,则.
15.某城市的行政管理部门,在保证居民正常用水需要的前提下,为了节约用水,制定了如下收费方法:每户居民每月用水量不超过4.5吨时,水费按0.64元/吨计算.超过部分每吨以5倍价格收费.试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系.并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用.
解:依题意有,所以
.
习 题 1-2
1.设,
求的值;
求,使当时,不等式成立;
求,使当时,不等式成立.
解:(1)
.
(2) 要使 即 , 则只要 取N= 故当n1110时,不等式成立.
(3)要使成立, 取,那么当时,
成立.
2.根据数列极限的定义证明:
(1); (2).
解:(1), 要使, 只要取, 所以,对任意,存在,当时,总有,则.
(2) ,要使, 即,只要取,所以,对任意的0,存在, 当, 总有, 则.
3.若证明.并举例说明:如果数列有极限,但数列未必有极限.
证明: 因为, 所以, , 当时, 有.不妨假设a0, 由收敛数列的保号性可知:, 当时, 有, 取, 则对, , 当时, 有.故. 同理可证时, 成立.
反之,如果数列有极限, 但数列未必有极限.如:数列, , 显然, 但不存在.
4.设数列有界,又.证明:.
证明: 依题意,存在M0, 对一切n都有, 又, 对, 存在,
当时, , 因为对上述, 当时, ,由的任意性, 则.
5.设数列的一般项,求.
解: 因为, , 所以 .
6.对于数列,若,,证明:.
证明: 由于, 所以, , , 当时,有, 同理, ,, 当时, 有.取=max, , 当时, 成立, 故.
习 题
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