《平行截割定理与相似三角形》教案.docxVIP

个性化教案 PAGE7 / NUMPAGES7 平行截割定理与相似三角形适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点相似三角形的判定及有关性质考情分析在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应 用，其中相似三角形的判定及 性质常与圆的知 识综合在一起考查。教学重点平行截割定理与相似三角形教学难点平行截割定理与相似三角形教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 平行线等分线段定理 定理　如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1　经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2　经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 考点/易错点2 平行线分线段成比例定理 定理　三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 考点/易错点3 相似三角形的判定 定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理1　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3　对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点/易错点4 两个直角三角形相 似的判定 定理　①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)相似三角形的性质 性质定理　①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方． 考点/易错点5 直角三角形的射影定理 直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。 三、例题精析 【例题1】 【题干】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若eq \f(AE,EB)＝eq \f(3,4)，则EF的长为________． 【答案】eq \f(23,7) 【解析】如图所示，延长BA、CD交于点P，∵AD∥BC，∴eq \f(PA,PB)＝eq \f(AD,BC)＝eq \f(2,5)， ∴eq \f(PA,AB)＝eq \f(2,3)，又∵eq \f(AE,EB)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(3,7)，∴eq \f(PA,AE)＝eq \f(14,9)，∴eq \f(PA,PE)＝eq \f(14,23).∵AD∥EF，∴eq \f(AD,EF)＝eq \f(PA,PE)＝eq \f(14,23)，又AD＝2，∴EF＝eq \f(23,7). 【例题2】 【题干】已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足． 求证：BC2＝2CD·AC. 【解析】过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∴CE＝BE＝eq \f(1,2)BC，由BD⊥AC，AE⊥BC. 又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC. ∴eq \f(EC,DC)＝eq \f(AC,BC)，∴eq \f(\f(1,2)BC,CD)＝eq \f(AC,BC)， 即BC2＝2CD·AC. 【例题3】 【题干】已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________. 【答案】9 【解析】　如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° 设AD＝x，∵CD⊥AB于D