乘法原理练习题.docVIP

6讲 乘法原理 1、马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。 　　事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有　　3×2＝6（种）。 2、从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 分析与解：用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）。 　　共有下面12种走法： 　A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1　A1B1C2 A1B2C A1B3C2　A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 　　A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 　　事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法。对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有　2×3×2＝12（种）。 3、用0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？ 分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法。根据乘法原理，可以组成三位数　　5×6×6＝180（个）。 4、如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 分析与解：将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。 　　先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法　　5×4×3×3×2＝360（种）。 5、求360共有多少个不同的约数。 分析与解：先将360分解质因数， 　　360＝2×2×2×3×3×5， 　　所以360的约数的质因数必然在2，3，5之中。为了确定360的所有不同的约数，我们分三步进行： 　　第1步确定约数中含有2的个数，可能是0，1，2，3个，即有4种可能； 　　第2步确定约数中含有3的个数，可能是0，1，2个，即有3种可能； 　　第3步确定约数中含有5的个数，可能没有，也可能有1个，即有2种可能。 　　根据乘法原理，360的不同约数共有　　4×3×2＝24（个）。 　　由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后的形式为 　　其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl都是自然数，则N的所有约数的个数为：　　（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。 　　利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不同的约数 　　（4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。 6、有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 分析与解：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29＝512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。