高等数学_第6章节_可降阶的二阶微分方程讲述.ppt

第六章 微分方程 6.5 可降阶高阶微分方程 一、 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型 例1： 解： 两边积分可得： 再积分一次得： 解法 这种方程的通解可经过积分 次而求得。 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数. 例2. 解 例3. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解 据题意有 t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初速度为0, 且 对方程两边积分, 得 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 型 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 二、 例4. 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 例5. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 三、 型 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例6. 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解 M : 地球质量 m : 物体质量 例7. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 两端积分得 因此有 注意“－”号 由于 y = R 时 由原方程可得 因此, 落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 注 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 . 则定解问题为 例8. 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 例9. 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 99 考研 ) 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例7 例8 P132 1 (1) , (2); 2 (1) , (2) ; 作  业 发，速度大小为 2v, 方向指向A. 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 又由于 设走私船 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为 备用题 常数v 的速度沿 y 轴正向运动, 缉私船 B 从 (–1, 0 ) 出 试建立缉私船 B 的运 动轨迹应满足的微分方程及初始条件. ① 代入 ① 式得所求微分方程: 其初始条件为