高等数学第六版第二章第五节函数的微分讲述.ppt

作业 内容回顾 1. 设 3. 设 3. 设 第五节 一、微分的概念 定理 : 函数 定理 : 函数 说明:1) 例如 例1 二、 微分运算法则 例2. 例3. 设 注 三、 微分在近似计算中的应用 特别当 例5. 求 例6. 计算 例7. 有一批半径为1cm 的球 , *四、 微分在估计误差中的应用 误差传递公式 : 例8. 设测得圆钢截面的直径 思考与练习 2. 5. 6. 设 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 已知测量误差限为 按公式 计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x , 测量D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积 , 解:计算 A 的绝对误差限 A 的相对误差限 试估计面积的误差 . 计算 1. 微分概念 微分的基本思想 2. 微分的几何意义 3. 微分公式与运算法则 4. 导数与微分的关系: 就是切线纵坐标对应的增量 熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分 以直代曲 5. 微分的应用: 近似计算,估计误差 内容小结 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 处的 及 并说明其正负 . * 目录 上页 下页 返回 结束 P123 1; 3(4)(7)(8)(9)(10);4;5; 8(1); 9(2);*12 习题课 复习 第二章 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 思考与练习 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 2. 设 , 求 解一：方程组两边同时对 t 求导, 得 , 求 解二：方程组两边同时对 t 求导, 得 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用 一、微分的概念 函数的微分 第二章 1.引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 又如 改变量的线性项 再观察，若 比较 你发现了什么？ 2.定义 (Differentials) 设 在 点的某个邻域中有定义, 若存在一个与 无关的常数A,使得 (differentiable)， 记作 的线性部分 为 在点 处的微分, 并称 若f 在区间I 上的每一点可微, 则称f 在 区间I 上可微. 3. 微分的性质 性质1(可微与可导的关系) 且 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 可导, 则 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 故规定 2) 性质1讲的是对一元函数, 可导与可微等价； 3) 计算中，特别对函数 4）性质2 (可微与连续的关系) 若f(x)在 点可微， 则f(x)在 点连续. 从而 (自变量的微分), 于是微分的计算式写作 导数也叫作微商 4) 基本初等函数的微分公式 (见 P116表) 5) 性质2 (可微与连续的关系) 又如, 若f(x)在 点可微， 则f(x)在 点连续. 已知 求 解：因为 所以 dy是曲线在点 处切线上相 应两点间纵坐 标的改变量 . 4. 微分的几何意义 微分思想 ——“微小局部以直代曲” 或说“局部线性化”思想 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 5. 复合函数的微分 则复合函数 说明 复合函数一阶微分的形式不变性 为 而当u为中间变量时，即 这个性质可以用于复合函数求导及微分的计算, 使计算的层次非常清晰。 注意:复合函数的高阶微分不再具有形式不变性！ 这是因为 u 是中间变量时