高等物理化学第五章讲述.ppt

第五章动力系统分析法 当一个体系或称系统在远离热力学平衡并且内部涉及某些合适的非线性动力学机制时，空间均匀的、不随时间变化的非平衡定态可以变得不稳定，即失稳。但是仅仅依靠热力学的分析，我们无法知道在到达和超过不稳定临界点以后体系会发展到一个什么样的状态。热力学的分析只是在于从原则上指出了非平衡体系中出现不稳定现象的可能性，以及由此而导致产生时空有序结构的自组织现象的可能性。 为了能具体地说明各种自组织过程以及显示出在不稳定点以后出现的时空有序结构，还需要仔细地分析体系内部的动力学过程和机制。本章，我们就涉及动力学过程的分析方法作一简要学习。 5.1引言 对一动力系统，从原则上讲，在确定的初始条件和边界条件下，可以用一个或一组微分方程来描述其演化发展行为。 但是，一般说来，微分方程组特别是非线性偏微分方程组的严格求解是极为困难的。 因此，探索复杂现象的动力系统之分析方法建立的如下的思想基础上，即：在采取任何详尽定量描述的尝试之前先着手于定性的研究，以确定体系演化的总体趋势及潜在可能性之类型。 进行这种研究就是分析当控制参量变化时，它们以什么方式影响基本演化方程组的解。 当然，进行这种定性研究也同样是十分困难的。 困难的原因主要在于：所讨论研究的体系一般受到外界的多种控制或多种约束，并按非线性机制相互作用而演化。 这些非线性机制导致的最富戏剧性的后果，是在一定的条件下产生解的多重性，其中的一些解可能代表着以具有非常复杂的时空关系为特征的动力状态体制。如果强行采用数值方法，一般将会漏失这些潜在的可能性。 这也就是为什么需要定性分析法的根源。 进行定性分析的方法主要有 稳定性理论 分支理论 奇异摄动理论等 5.2线性稳定性分析 线性稳定性分析法是最为简单的一种方法，但可以从中获得大量有益信息，且这些信息也是其它近似分析方法的基础。 由稳定性的定义以及Lyapounov稳定性理论，知道：如果能找到一个和非平衡定态Xs相关的Lyapounov函数，则可以确定在该定态的某一有限范围内的稳定性，或者说定态对于有限大小扰动(涨落)的稳定性。 但是，寻找Lyapounov函数是件不容易的事，因此人们一般不是讨论非平衡定态对有限大小扰动的稳定性，而是讨论非平衡定态对无限小扰动(微扰)的稳定性。 这样处理稳定性问题的一个极为有效而简便的方法就是线性稳定性分析。 对于一个动力系统，我们可把整个变量组用一列向量 表示，其分量分别为X1，X2，…，Xn。令 的变化速率可写成如下形式 现在引入一个参考状态 (即非平衡定态)，显然参考态本身是上述方程的一个特解，即有 由此，可将基本演化方程转变为 对上述方程（2）的右边，一种自然的处理方式就是围绕参考状态 进行展开。 如果 具有 的多项式结构，则这种展开永远可行并且能在有限项中完成。 然而在更为复杂的情况下， 与 的关系也可能不同。 这解决这类问题，可假设： (1) 仍可展开为 的幂级数形式； (2)展开式可以截短为有限项。这一假设实际就是把研究限制在无限小的范围内，也就是系统对于 这样微小扰动的响应范围内。 这里注意的是，用无限小研究的原因在于：如果对于无限小 ， 不稳定，则对于任何 ， 都将不稳定。 因此在这个意义上看，无限小不稳定性就为不稳定性提供了必要条件，当然不一定是允分条件。 上述方程(2)右边第一项可在形式上表示为 其中 等项， 是微分的规范形式，在数学上称为弗雷谢(Frechet)微分。 一般来讲，方程(2)式和(3)式构成了高度的非线性问题，它与原始方程(1)一样是难以处理的。 然而，在这里可引用一个最重要的分析方法—线性稳定性原理，从而使进一步的工作得以进行下去。 这个原理比较了下述两类问题的稳定性质：(a)原始的、完全非线性问题；(b)略去了高次项的线性化问题。 对于线性和非线性贡献分别引进简写符号 则可把上述两类问题作为下列方程组的解 线性化的稳定性原理指出： (a)如果线性化问题式(5)的零解 是渐近稳定的，则 (或者等价地 )是非线性问题式(4)或式(1)的渐近稳定解。 (b)如果线性化问题式(5)的零解 是不稳定的，则 (或者等价地 )是非线性问题式(4)或式(1)的不稳定解。 上述内容也称为线性化稳定性原理。 从上述原理知道，当线性化问题的零解是渐近稳定或不稳定时，该零解与它所对应的非线性问题的特解有相同的稳定性。 换句话说，在上述情况下可以从线性化方程组的零解来确定非