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高阶微分方程小结 第十二章 2. 理解二阶线性微分方程解的结构； 3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 4. 掌握自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式． 和 一　基本要求 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程 变量代换 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程及其根 对应的通解形式 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 二　内容提要 1.可降阶的高阶微分方程的解法 解法 特点 型 接连积分n次,得通解． 型 解法 型 解法 2. 线性微分方程解的结构 (1) 二阶齐次方程解的结构: 解的叠加 (2) 二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理3 设y*是(2)的一个特解, Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解. 那么 叠加 3. 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 特征方程为 微分方程 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 推广： n阶常系数齐次线性方程解法 4.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 通解 　 用待定系数法求特解 设特解的形式 答：选择C 问题1 三 问题与思考 问题2. 以 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 答：正确. 例1 解 代入方程，得 故方程的通解为 四　典型题目 例2 解 方程两边求导 两边再求导，得 由原方程和(1)式,得初始条件 求解初值问题 例3 试确定以 解 从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为 为特解的二阶常系数齐次线性方程. 例4 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 设 由 解得 故原方程的通解为 由 即 例5 解 (1)由题设可得： 解此方程组，得 (2)　原方程为 由解的结构定理得方程的通解为