【新步步高】2016高考数学二轮专题突破专题二三角函数、解三角形与平面向量第2讲三角变换与解三角形理分析.doc

第2讲　三角变换与解三角形 1．(2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．(2015·重庆)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(　　) A. B. C. D 3．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 4．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________． 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视. 热点一　三角恒等变换 1．三角求值“三大类型” “给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 例1　(1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－α0，则cos(α＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D. (2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1　(1)(2015·重庆)若tan α＝2tan ，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)－等于(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 热点二　正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． (2)余弦定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 例2　(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 思维升华　关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 跟踪演练2　(1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________． (2)(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B. C. D．3 热点三　解三角形与三角函数的综合问题 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状． 例3　(2015·山东)设f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f ＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 　 　 　 　 　 思维升华　解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求． 跟踪演练3　已知函数f(x)＝2cos (cos－sin)，在△ABC中，有f(A)＝＋1. (1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值； (2)若a＝1，求△ABC面积的最大值． 　 　 　 1．在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sin C等于(　　) A. B. C. D. 2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω0)的最小正周期为. (1)求ω的值； 　 (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f (A)的值域． 　 提