02随机变量及其分布分析.pptx

概率论与数理统计 厦门大学经济学院 第二章 随机变量及其分布 随机变量的概念 离散型随机变量及其分布 分布函数 连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布 在前面的学习中，我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间Ω的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。 §2.1 随机变量的概念 基本思想 将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果 有些随机试验的结果可直接用数值来表示。 例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示。 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化 例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”。 例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。 取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系 如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2} “一红一白”记为 {X=1}, “两只白球”记为 {X=0} 试验结果的数量化 随机变量的定义 定义：设随机变量的样本空间为，若对任意样本点，都存在一个实数X()与之对应，即存在一个定义于的单值实函数X=X()，则称X()为随机变量，简记为X。 一般用大写英文字母表示随机变量 随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点： 变异性 随机性 随机变量的实例 某个灯泡的使用寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X. X 的可能取值为 [0,+) Y 的可能取值为 0，1，2，3，..., X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。 例 用随机变量表示事件 若X是随机试验E的一个随机变量，S⊂R，那么 {X∈S}可表示E中的事件 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为：{X=2}∪{X=4}∪{X=6} “出现的点数小于４”可表示为：{X 4}或{X 3} E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示. 随机变量的类型 离散型：随机变量的所有取值是有限个或可列个； 非离散型：随机变量的取值有无穷多个，且不可列。 §2.2 离散型随机变量及其分布 一、离散型随机变量的概念 定义：若随机变量X只可能取有限个或可列个值，则称X为离散型随机变量 定义：设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为x1,x2,…,xk,…，记： P(X=xk)=pk, k=1,2,… 称上式为X的概率函数或概率分布，简称分布律（Probability distribution) 。 离散型随机变量X的分布律用如下表格表示： 概率分布具有以下两条性质 非负性：pk0 完备性：pk=1 X x1 x2 x3 … xk … P p1 p2 p3 … pk … 例2.6（P33） 例2.7（P34） 例2.8（P34） 例2.9 假定一个试验成功的概率为p(0p1)，不断重复进行试验，直到首次成功为止，用随机变量X表示试验的次数，求X的分布律。 解：P(X=k)=(1-p)k-1p, k=1,2,… 通常称此例中的X服从参数为p的几何分布。 例 设X的分布律为 求 P(0X≤2) P(0X≤2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3 分布律确定概率 解 =P(抽得的两件全为次品) 求分布律举例 例 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解：X的可能取值为 0，1，2 =P(抽得的两件全为正品) P{X=1} P{X=2} =P(只有一件为次品) P{X=0} 故 X的分布律为 而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}{X=2} P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！ 实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了 故 例： 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且 X的所有可能取值为 1，2，3，…