函数《周期性对称性专题》.doc

函数的周期性与对称性 ◆函数的轴对称 定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称. 推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称. 推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称. ◆函数的周期性 定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数； 推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数； 推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数： ； ② ； ③； ④； ⑤； ⑥．  ◆函数的点对称 定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称. 推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称. 推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称. ◆函数轴对称、点对称与周期性 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（ba）都轴对称，则函数f(x)有无数条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期） 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（ba）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期） ◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合 定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a成轴对称，又关于点（b,c）（a≠b）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期） 推论1：若奇函数f(x)图象关于直线x=a(a0)轴对称，则f(x)为周期函数，a是它的一个周期奇函数f(x)图象关于(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，a是它的一个周期偶函数f(x)图象关于直线x=a(a0)轴对称，则f(x)为周期函数，a是它的一个周期偶函数f(x)图象关于(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，a是它的一个周期为偶函数函数关于直线x=a对称为奇函数函数关于对称② 是偶函数，则图象关于直线对称； ③ ，则函数图象关于直线对称； ④ 与图象关于直线对称. 其中正确命题序号为___ ____。 练习2：周期性 1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) A. B. C. D. 3、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （ ） A. B. C. D. 4、函数对于任意实数满足条件，若则_____ ___。 5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为______ __。 6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)= f()=0.试求方程f(x)=0在闭区间[-200,2008]上的根的个数. 7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。 练习3：奇偶性、对称性与周期性综合 1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ） A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则____ ____。 4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____________ 5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,已知x[－2,2]时,函数f(x)=x2+1.求当x[－6, －2]时,f(x)的解析式⑴求,； ⑵证明是周期函数； ⑶记，求. 10、定义在R上的函数，对任意，有，且， （1）．求证：； （2）．判断的奇偶性；