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双曲线的参数方程 * * 双曲线的参数方程 黄绍荣 1、任意角的三角函数定义 x y o ● P(x,y) r 2、同角三角函数的基本关系式 商关系： 平方关系： 倒数关系 一，复习 ? b a o x y ) M B A 双曲线的参数方程 ? b a o x y ) M B A ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换. 说明： ⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同. O B M A x y 解： [思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，再证kPA·kPB＝定值． 【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果． 解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6 2．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦 点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2. 解 由sec2φ－tan2φ＝1得双曲线的普通方程为x2－y2＝1，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得双曲线的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos 2θ＝1. 答案 ρ2cos 2θ＝1
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