2变形岩石的应变基础教材.ppt

简单剪切条件下应变椭圆方程的计算实例 边长为2的正方形简单剪切后形成的椭圆及坐标系如图，其内接圆为单位半径圆。正方形中x轴上质点保持不动，其余质点沿平行x轴方向成比例移动，上方向左，下方向右，上、下边缘点移动距离为5/6。 单位圆圆心在（0，0），其方程：x2+y2=1 (1) 根据坐标关系，其中任一点（x, y),经简单剪切后到达（x1, y1），则 x1=x+5/6 y, y1=y---------欧拉方程 （2） 即x= x1-5/6 y1, y=y1 （3） 将（3）代入（1）式，可得： x12-5/3 x1y1+61/36y12=1 （4） 这与 x’2+2γ x’y’+(1+γ2)y’2=1是同一个椭圆的方程 3 初始为椭圆变形后的应变方程 初始椭圆方程：lx2-2mxy+ny2=1 经变形后仍为椭圆，其方程为： px’2-2qx’y’+ry’2=1 其中： p=(ld2+2mcd+nc2)/(ad-bc)2 q=[m(ad+bc)+lbd+nac]/(ad-bc)2 r=(lb2+2mab+na2)/(ad-bc)2 4 应变椭圆的参数 应变椭圆的长轴λ11/2、短轴λ11/2的大小 长轴X轴的夹角θ’ 和θ及其旋转角ω=θ-θ’ λ11/2 λ21/2 p p’ α θ’ α’ 长轴 λ11/2 = (1+e1) ={a 2+b 2+c 2+d 2+[( a 2+b 2+c 2+d 2) 2 – 4(ad-bc) 2]1/2}/2 短轴λ21/2 = (1+e2) ={a 2+b 2+c 2+d 2-[( a 2+b 2+c 2+d 2) 2 – 4(ad-bc) 2]1/2}/2 1）应变椭圆长、短轴应变值λ11/2和λ21/2 应变主轴与X轴的夹角θ’ tan2θ’ = 2(ac+bd)/( a 2+b 2-c 2-d 2) 变形前应变主轴与X轴的夹角θ tan2θ= 2(ab+cd)/( a 2-b 2+c 2-d 2) 旋转角度及其相互关系 tanω = tan(θ’-θ) = (b-c)/(a+d) 2）应变椭圆应变主轴，以及变形前应变主轴与x轴间的夹角θ’、θ和旋转角度ω及其相互关系 λ11/2 λ21/2 p p’ α θ’ α’ λ=1/2（a2-b2+c2-d2)cos2α+(ab+cd)sin2α +1/2(a2+b2+c2+d2) 其中λ=(1+e)2 任意最终与X轴成α’角的直线的线应变λ’ λ’= [1/2（d2+c2-a2-b2)cos2α’-(ac+bd)sin2α’ + 1/2(a2+b2+c2+d2)] /(ad-bc)2 其中λ’=1/λ= 1/(1+e)2 3）任意初始与X轴成α角的直线的线应变λ 变形后应变椭圆的主应变轴的方向（θ’） 为获得最大与最小值，可令： 4）任意初始与X轴成α角的直线的线应变λ 坐标变换方程常数a=1 b=γ c=0 d=1，应变椭圆参数为： λ1 = (1+e1) 2 = [2+γ2+γ(4+γ2) 1/2]/2 λ2 = (1+e2) 2 = [2+γ2-γ(4+γ2) 1/2]/2 tan2θ’ = 2/γ tan2θ= -2/γ tanω =γ/2 详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录B。 5）比较典型变形，如简单剪切的应变椭圆参数 四、应变对象中线的长度和角度变化 1长度变化 初始与应变椭圆长轴成φ角，变形后成φ’角的直线。 x’=x λ11/2 , y’=y λ21/2 x’= λ1/2 cosφ’ y’= λ1/2 sin φ’ cosφ=x=x’/ λ11/2 , sin φ=y=y’/ λ21/2 , cos2φ+ sin 2φ=1, λ’=1/λ= λ1’ cos2φ’+ λ2’ sin 2φ’ λ=λ1 cos2φ+ λ2 sin 2φ p 1 (x,y) p’(x’,y’) φ φ’ λ1/2 y x y’ X’ 无长度应变线 λ=1 得 tan 2φ =(λ1-1)/(1- λ2) tan 2φ’ = λ2(λ1-1)/ λ1(1- λ2) 当体积不变 λ2=1/ λ1 tan 2φ’ = 1/ λ1 因λ1大于1，故φ’ 一定小于45度 p 1 (x,y) p’(x’,y’) φ φ’ λ1/2 2 角度变化 Tanφ’=y’/x’=yλ21/2/xλ11/2 =ta