4函数的连续性说课.ppt

§ 2. 4 2 . 4 . 1 函数的连续与间断 若函数 2 . 函 数 的 间 断 点 的 特 征 3 . 间 断 点 的 分 类 例如 ： 再如 确定函数 间断点的类型及连续区域。 2.4.2 初等函数的连续性 定理（复合函数连续性） 例如 . 又 如 , 再 如. 设 定理（反函数连续性） 2. 初 等 函 数 的 连 续 性 2.4.3 闭区间上连续函数的性质 定 义 ： 定 理（最值性） 注意 ： 定 理（零点性） 定 理（介值性 ） 例1. 证明方程 例2. 设 *2.4.4. 一致连续性 例如, 内容小结 思考与练习 2. 设 备用题 对自变量的增量 内容小结 思考与练习 例. 证明函数 内容小结 思考与练习 P65 题5 提示: 例2. 求 例4. 求 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 作业 P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5 提示: “反之” 不成立 . 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都收敛 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个发散 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 3. P64 题 2 , P65 题 5 为 连续函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 作业 P64 3 ; 4 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 * 2 . 4 . 2 初等函数的连续性 2 . 4 . 1 函数的连续与间断 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函 数 的 连 续 性 第 二章 2 . 4 . 3 闭区间上连续函数的性质 1 . 定义 : 称函数 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 处左连续 ； 若 ⑴ ⑶ ⑵ 称函数 在点 处右连续 ； 称函数 在点 处连续 ， 为函数 的 连续点 ； 此时也称 若函数 在开区间 内每一点 x 处都连续， 在开区间 内 连续 ； 则称函数 若函数 内连续， 在闭区间 上 连续 。 则称函数 在开区间 且 由上定义可见 ，函数 在点 (1) 函数 在点 (2) (3) 处连续必须具备下列 均收敛 ; 处有定义 , 有意义 ; 即 在点 处不连续， 在点 处 间断 ， 为函数 的间断 点。 与 则称函数 此时也称 条件： (4) 均收敛且 与 与 (1) 函数 (4) (2) 均收敛，但 若函数 在点 处间断 , 则在连续性的定义中至少 一个条件不被满足 ， 中至少有一个发散 。 在点 处无定义 ； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与 也就是说可从以下四方面考虑： 均收敛， 且 (3) 第一类间断点: 与 均收敛 ； 特别地 ： 时， ⅱ）当 时， 第二类间断点: 及 中至少有一个发散； 而另一个为∞或收敛，称 ⅱ) 若其中有一个振荡 , 而另一个振荡 或收敛， 称 ⅰ) 若其中一个 为可去间断点 ； 为跳跃间断点， 为无穷间断点 . 为振荡间断点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 若 ⅰ) 当 称 为 处的跳跃度 。 在 称 称 设 是函数 的间断点， 为该函数的可去间断点 。 显然 显然 为其可去间断点。 (2) 为其跳跃间断点, 其跳跃度为2 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 显然 为其无穷间断点 。 为其振荡间断点 。 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点，其跳跃度为1 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即函数连续的区域 ： 1 .