4-函数的连续性说课.ppt

定理1.19 (零点定理) 设函数 在闭区间 [a, b]上连续， 使得 则至少有一点 如果 的一个零点. 几何解释: 定理1.20 (介值定理) 设函数 在闭区间 上连续, 若 则至少有一点 使得 两个端点位于x 轴的两侧, 则曲线弧与x 轴至少有一交点. 连续曲线弧 的 M B C A m a b 证 由零点定理, 几何意义: 至少有一个交点. 之间的任何值(不会有任何遗漏). 推论 在闭区间上连续的函数可以取到介于最大值 与最小值 注 闭区间上连续函数的性质常用于: 证明某些等式或不等式; 判断某些方程根的存在性或实根的范围. 例 证 由零点定理, 例 证 由零点定理, 使 辅助函数 证 则 零点定理 且 例 证明方程 证 由零点定理, 一根. 所以,方程 使得 1.4 函数的连续性 1.4.1 函数的连续性 定义1.7 (函数在一点的连续性) 设 在 x0 的某一邻域内有定义, 时函数 的极限存在, 如果当 且 则称函数 在点 连续, 称为 的连续点. 等价于 处连续必须满足三个条件: 说明:函数 所以, 在点 连续等价于: 例1 证 由定义知 左连续 右连续 显然, 定义1.8 (函数在一点左右连续) 又右连续. 处既左连续, 例 解 右不连续. 所以 左连续, 练习 解 右连续但不左连续 , 或称函数在该区间上连续. 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间上的 在开区间 右连续 左端点 右端点 continuous 左连续 连续函数, 内连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 定义1.9 (函数在区间连续) 例如, 多项式函数 内是连续的. 因此, 有理分式函数在其定义域内的每一点 都是连续的. 有理分式函数 只要 都有 因此, 多项式函数在 证 由两边夹定理, 有 因 例 证明函数 内连续. 类似可证, 定理1.14 (函数四则运算的连续性) 例如, 故 在其定义域内连续. 定理1.15 (复合函数的连续性) 即 注：连续函数的复合函数是连续的. 定理1.16 设函数 在区间I 上单调而 且连续, 则其反函数也单调且连续. 由此, 反三角函数在其定义域内皆连续. 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ 可以证明: 指数函数 ★ ★ 均在其定义域内连续. 对数函数 基本初等函数的连续性 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 定理1.17 (初等函数的连续性) 初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注2. 初等函数的连续性提供了简单极限的求法. 注1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 的定义域为 因此它无连续点 如 例3 求 例4 求 解 解 例5 (非初等函数的例子) 证明符号函数 是非初等函数. 证 因为 矛盾, 1.4.2 函数的间断点 的间断点. 处连续必须满足三个条件: 函数 如果上述三个条件中有一个不满足, 间断点分为两大类: 第一类间断点: 和 都存在的间断点, 若 则称为跳跃间断点. 其中 称为第一类间断点. 例6 讨论 解 所以, 为函数的跳跃间断点. 若 则称为可去间断点; 例7 讨论函数 解 所以, 为函数的可去间断点. 在 处的连续性. 如例7中, 注意: 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 则 在 处连续. 第二类间断点: 和 中至少一个不 若其中有一个为 称为无穷间断点. 称为第二类间断点. 存在的间断点, 例8 讨论函数 解 所以, 为函数的无穷间断点. 例 有定义, 不存在, 故 为f (x)的 间断点. 第二类 之间来回无穷次振荡, 初等函数无定义的孤立点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 也可能是连续点, 需要判定. 求函数的间断点的方法 解 例9 求函数 的间断点, 并判断其类型. 是间断点. 所以, x = 0为第二类无穷间