ch凹函数与非线性规划说课.ppt

拉格朗日定理 整体极大的充分条件 3.7.4 一般的拉格朗日问题 严格局部极大值的充分条件 3.7.4 一般的拉格朗日问题 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 1) 问题描述 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 2) 互补松弛性条件 条件(C-S)称为互补松弛性条件(Complementary Slackness Conditions)，它有着非常直观的经济解释。前面已经说明，根据受到可获取资源的约束，乘子可以解释为度量隐性支出的影子价格。显然，若约束不受束缚（我们拥有比需要多得多的资源），则资源的进一步增加将不会增加利润。另一方面，若乘子是正的，则资源的增加将使利润增加。显然，这种情形只在我们没有足够的资源时才会出现，即当约束是受束缚时才会出现。总之，若我们已经拥有太多的某种物品，则这种物品再多也将没有任何用途。而若我们没有足够的物品，我们自然会为了得到更多的物品而愿意付出正的价格。 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 3) 一些记号 一些后面将要采用的记号。将约束函数 gj(x) , (j = 1,…,c) 重新排列，将受束缚的约束排在前面。也就是说，若x*是可行点，我们将约束重新排列使得： 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 4) 库恩一塔克定理 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 5)整体极大点的充分条件 6)唯一性 3.7.5 不等式约束：库恩-塔克问题 3.7.6 代积分号的极值问题 积分目标函数和积分约束函数 这个问题和我们已经讨论过的问题不同，原来讨论的是决策变量是有限的，而现在的决策变量是无限的。换句话说，选择的目标不是Rn中的向量，而是它们的连续统，即函数x(s):[a,b]? Rn，对每个状态变量的值s，对应一个选择变量x。 利用前面的结论，我们可以得出问题(P. I)的最优解的必要条件和充分条件，这些条件类似于标准的库恩一塔克问题。 一阶条件 此时的拉格朗日函数为： 一阶条件为： 3.7.6 代积分号的极值问题 定义1 设 f(X)为定义在n维欧氏空间En上的某一区域上R的n元实函数，X=(x1,x2,?xn)T 。若f(X) 在R上可微，令 （1） 则 ?f(X) 称为f(X) 的梯度向量，亦记作gradf。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 性质1 函数f ( X ) 在某点X* 处的梯度?f(X) （ ?f(X)?0）必与函数过该点的等值面（ ?f(X) = ?f(X*)的切平面垂直。 性质2 沿梯度的方向，函数值增加得最快，即该方向上函数变化率最大，而负梯度方向则是函数值减小最快的方向。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 为函数f (X)在X* 点处的梯度。 若在考察的区域内梯度是连续的，则有以下两个性质。 特别地，称 定义2 设R是n维欧氏空间En上的某一开集，函数f ( X ) 在R上具有连续的二阶偏导数， 令 （2） 则称H(X)为函数f (X )的海赛矩阵（Hessian Matrix）,亦记为?2f(X) 。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 注1：当f( X )的二阶混合偏导数连续时，二阶混合偏导数与取导数的顺序无关，即 因而H ( X )为对称矩阵。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 例如：设 则梯度向量和海赛矩阵分别 为 ： 和 定义3 称 n 元二次齐次函数 （3） 为 n 元二次型。其中矩阵A=(aij)n?n为对称矩阵。若A中所有元素均为实数，则该二次型为实二次型。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 定义4 设有实二次型 f(X)=XTAX， (1) 若对任意X?0，恒有f(X)0，则称f (A)为负定二次型（或称 f (X)为负定的），对应的矩阵A为负定矩阵； (2) 若对任意X?0 ， 恒有f(X)?0 ，则称f (A)为半正定的（或称 f (X)为非负定的），对应的矩阵A为半正定矩阵； (3) 若对任意X?0 ， 恒有f(X)?0 ，则称f (A)为半负定的（或称 f (X)为非正定的），对应的矩阵A为半负定矩阵； (4) 若存在某些X?0 ，有f (X) 0 ，又存在某些X?0 ，有f (X)0 ，则称f (X)为不定的，对应的矩阵A为不定矩阵。 3.6 海赛（Hessian）矩阵与二次型 注1：实二次型f(X)=XTAX 为正定的充要条件是矩阵 A 的各阶顺序主子式均大于零，即 注2： 实二次型f(X)=XTAX 为负定的充要条件是阵 A 的各阶顺序主子式正负交替出现，即 3.6 海赛（Hessian）矩阵与