5二阶常系数线性齐次微分方程说课.ppt

三、二阶常系数齐次线性方程解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 * 第四节 二阶常系数线性齐次微分方程 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义 方程 为二阶常系数线性微分方程 其中 、 、 是已知常数,且 为二阶常系数线性齐次微分方程 下面介绍方程　　　　　　　　 解的结构. 一、定义 证明 也是 的解，其中 、 为任意常数 定理5-1 若函数　　、　 是方程 的两个解，则 把　、　 代入方程 的左边，得 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 、 线性无关，是指不存在不全为零的常数 、 ,使 ,即 常数 否则称 、 线性相关． 定理5-2 若函数　　、　　是方程 的两个线性无关的特解，则 是方程 的通解,其中 、 　 为任意常数 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 解的叠加原理 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 例1 -----特征方程法 将其代入上述方程, 得 故有 特征方程 特征根 将其代入以上方程, 得 故有 特征方程 特征根 由定理5-2,求方程 的通解的关键是先要求出它的两个线性无关的特解. 由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如 的解. 的解法 方程有两个线性无关的特解 所以方程的通解为 特征根为 (１)当 ,特征方程有两相异实根 根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论 (2) 当 ,方程有两个相等的实根 一特解为 特征根为 若 是原方程的解,应有 所以方程的通解为 将 代入以上方程,得 因 ,故 所以 特征根为 (3) 当 ,方程有一对共轭复根 利用欧拉公式 可将 和 改写成如下形式 重新组合 得方程的通解为 不难看出 和 线性无关 求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解. ( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定 、 ,从而获得满足初始条件的特解. 例6-13 求下列方程的通解 解 (1)特征方程为 所以方程的通解为 解得 所以方程的通解为 解得 (2)特征方程为 所以方程的通解为 (3)特征方程为 解得 解 特征方程为 即 特征方程有两个不相等的实数根 所以所求方程的通解为 对上式求导,得 例5-14 求方程 满足初始条件 、 　　的特解. 将 　、 　代入以上二式,得 解此方程组，得 所以所求特解为 解 特征方程为 例5-15 求方程 满足初始条件 、 　　的特解. 即 特征方程有两个相等的实数根 所以所求方程的通解为 对上式求导,得 将 、 代入以上二式,得 解此方程组，得 所以所求特解为 解 特征方程为 特征根为 所以所求方程的通解为 例5-16 求方程 满足初始条件 、 　　的特解. 对上式求导,得 所以所求特解为 将 、 代入以上二式,得 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐次方程特解为 代入原方程 整理得 1、