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比较 可知 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 练习4 1. 在曲面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为 则法线方程为 利用 得 平面 法线垂直于平面 点在曲面上 2. 求由方程 函数 确定的 的极值. 方程两边分别对 x, y 求偏导,得 上述方程组两边分别再对 x, y 求偏导，得 得驻点 解： 由 知函数在点 P 有极值. 将 代入原方程，得 当 时， 所以 为极小值； 当 时， 所以 为极大值； 作业 P130 4, 8, 11, 14, 17，18 * * 高等数学 * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法 一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 三、多元函数微分法的应用 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 最小二乘法 例1. 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 分析: 解法1 解法2 令 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 提示: 利用 故f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 例2. 证明: 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 例3. 已知 求出 的表达式. 解法1 令 即 解法2 以下与解法1 相同. 则 且 例4 . 设 解: 求 例5 . 设 解: 例6.设 ,其中f 有二阶连续偏导数, 求 解: 例7.设 有二阶连续偏导数, 且 求 解: 练习1 设函数 f , g 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 例8. 设 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 有一阶导数或偏导数, 求 解法2 方程两边求微分, 得 化简 消去 即可得 例9. 设 满足 且 证明： 证明： 即 解: 练习2 代入得证. 1. 解: 代入… 2. 例10. 设 求 解：法1 得 1 2 3 由 、 得 1 2 代入 3 所以 法2 练习3 求 提示: ① ② 利用行列式解出 du, dv ： 代入①即得 代入②即得 ① ② 例11. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解： 设 为抛物面 上任一点， 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉格朗日函数 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 例12. 求函数 解： 在闭区域 上的最值. 首先求函数在开区域 上的极值. 驻点M(2,-1),且在该区域之内 由 所以 为极小值. 此题可以省略 再求函数在闭区域 在边界 上的极值. 即求 在条件 下的极值 所以 有 即 高等数学 * 目录 上页 下页 返回 结束 * *