44函数的单调性与曲线的凹凸性说课.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 §4.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 一、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降的呢？ 下页 动画演示 f ?(x)0 f ?(x)0 观察结果 函数单调增加时导数大于零? 函数单调减少时导数小于零? 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 下页 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 由拉格朗日中值公式? 有 f(x2)?f(x1)=f ?(x)(x2?x1) (x1xx2)? 因为f ?(x)0? x2?x10? 所以 f(x2)?f(x1)?f ?(x)(x2?x1)0? 即 f(x1)f(x2) ? 这就证明了函数f(x)在(a? b)内单调增加? 证明 只证(1)? 在(a? b)内任取两点x1? x2(x1x2)? 下页 说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间? 下页 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 例1 判定函数y?x?sin x 在[0? 2p]上的单调性? 解 因为在(0, 2p)内 y??1?cos x 0? 所以函数 y?x?sin x 在[0? 2p]上的单调增加? 下页 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 因为在(??? 0)内y?0? 所以函数 y?ex?x?1在(??? 0]上单调减少? 因为在(0? ??)内y?0? 所以函数 y?ex?x?1在[0? ??)上单调增加? 解 函数y?ex?x?1的定义域为(??? ?)? y??ex?1? 例2 讨论函数 y?ex ?x?1的单调性? 下页 解 函数的定义域为(??? ??)? 所以函数在[0? ??)上单调增加? 因为x0时? y?0? 所以函数在(??? 0] 上单调减少? 因为x0时? y?0? 例3 下页 1? 设函数y?f(x)在[a? b]上连续? 在(a? b)内可导? x1? x2是 f ?(x)的两个相邻的零点? 问f(x)在[x1? x2]上是否单调？ 2? 如何把区间[a? b]划分成一些小区间? 使函数 f(x) 在每个小区间上都是单调的？ 讨论 下页 (1)确定函数的定义域? (2)求出导数f ?(x)? (3)求出f ?(x)全部零点和不可导点? (4)判断或列表判断? (5)综合结论? 确定函数单调区间的步骤 x f ?(x) f (x) 例4 确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间?