D 偏导数说课.ppt

一、 偏导数的概念及其计算 二 、高阶偏导数 第三节 偏导数 定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 就称此极限为函数 有定义，若极限 设函数 由此 处关于x 在点 一、 偏导数的概念及其计算 * 同理有， 关于y的偏导数 函数 在点 记法还有： 对x和y的偏导数 如果函数 在点 处可偏导。 都存在，就称函数 在点 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 在点 关于 的偏增量； 称为函数 偏增量： 在点 关于 的偏增量； 称为函数 全增量： 在点 的全增量。 称为函数 简单地说，偏导数就是偏增量之比的极限。 例1：设函数 例1表明 在点 处可偏导，但不连续! 求 和 。 解：显然 故 例2：讨论函数 例2表明 在点 处连续，但不可偏导! 在点 解：由于 故 处的可偏导性。 和 均不存在， 从而 在点 处的不可偏导。 重要结论：对于二元函数 连续 可偏导。 在 处不可导，且 在 处不可导， 例3. 求 解: 在点(1, 2) 处的偏导数. 且有 在区域D内的任一点均可偏导， 如果函数 在区域D内可偏导，其偏导数 就称函数 称为偏导函数，记为 例3. 求 又解: 在点(1, 2) 处的偏导数. 例4. 设 证: 求证 注：偏导数的概念可以推广到二元以上的函数上去 . (请自己写出) 例5. 设 求 解: ，同理 所以 偏导数记号是一个 例6. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 二、高阶偏导数 设 在区域 D 内可偏导， 若这两个偏导数仍存在偏导数， 就称它们是 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有四个二阶偏导数： 混合偏导数 例7. 求函数 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的所有二阶偏导数。 例8. 二者不等 此例了解结论！ 处 定理： 若 (证明略) 和 都在点 连续， 则 例9. 证明函数 满足 证： 利用对称性 , 有 （称为拉普拉斯方程） 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， 关于 x 的三阶偏导数及关于x 的 二 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数分别为 又如， 在例7中. 则有 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 二元函数可偏导 二元函数连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次向上求导法 * * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. * * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回.