D9偏导数说课.ppt

第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅 定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出) 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 证: 例. 求 的偏导数 . 解: 求证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 不存在． 解 分析下列解法是否正确？ ? ? 解 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 例 解 按定义可知： 2 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数: 纯偏导 混合偏导 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为 例. 求函数 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 例如, 二者不等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 则 证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 (证明略) 结论：混合偏导数在连续的条件下与求导次数无关. 例. 证明函数 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. * * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回.