D凹凸性与曲率说课.ppt

* 运行时, 点击按扭 “摆线”可用动画显示摆线与摆线的渐屈线的生成, 演示结束自动返回. 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 主要内容: 二、 弧微分 三、 曲率及其计算公式 函数的凹凸性与 平面曲线的曲率 第三章 一、曲线的凹凸性与拐点 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 一、曲线的凹凸与拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 拐点 定理.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 例1. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 例2. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 对应 例3. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 3) 列表判别 故该曲线在 及 上是凹的, 是凸的 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 二、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 三、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 例4. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K 的计算公式 二阶可导, 设曲线弧 则由 说明: (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则 例5. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 例5. 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线, 且 l R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 解: 显然 例6. 求椭圆 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 K 最大 最小 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 计算驻点处的函数值: 最大. K 最大 最小 四、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 设曲线方程为 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 满足方程组 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停 例7. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大, 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 例3 ( 仍为摆线 ) 例8. 求摆线 的渐屈线方程 . 解: 代入曲率中心公式, 得渐屈线方程 摆线 摆线 摆线 摆线 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时, 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点 M 的轨迹即为摆线 . 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 内容小结 1.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 曲线 在 I 上 是凹