8、作业习题习题解答第1章量子理论的诞生【习题1.1】利用玻尔-索末菲.doc

8、作业习题 习 题 解 答 量子理论的诞生 【习题1.1】 利用玻尔-索末菲量子化条件求限制在方形箱内运动粒子的能量。箱的长、宽和高分别为、和。 解 选箱的长、宽、高分别为方向，粒子在箱内作自由运动，按玻尔-索末菲量子化条件有 ； ； （1） 式中、、。注意到粒子在箱壁上碰撞后，其动量会变成相反方向，所以上面的环积分的结果为 ； ； （2） 于是粒子的动量为 ； ； （3） 进而得到粒子的能量为 （4） 【习题1.2】 利用玻尔-索末菲量子化条件求转动惯量为的平面转子的能量。 解 设平面转子的转角为，其角动量为。若视为广义坐标，则为相应的广义动量。利用玻尔-索末菲量子化条件 （1） 于是得到 （2） 平面转子的能量为 （3） 【习题1.3】 由及出发，利用，导出相对论粒子的德布罗意波长与动能的关系。为该粒子的静止质量。 解 依题意可知 （1） 于是有 （2） 解之得 （3） 利用式（1）和（3）可求出粒子的动量 （4） 相对论粒子的德布罗意波长公式为 （5） 【习题1.4】 计算如下粒子的德布罗意波长。 能量为的粒子，粒子的质量； （2） 速度，质量的尘埃； （3） 速度，质量的子弹。 解 （1）利用动能与速度的关系 （1） 计算粒子的速度 （2） 显然，此粒子的速度已接近光速，因此，要利用上题给出的德布罗意波长公式，即 （3） （2）对于尘埃 （4） （3）对于宏观尺度的子弹 （5） 【习题1.5】 有一功率的水银灯，其发光效率为80％，若只有2％的能量用于发射光子，求每秒发射波长为的光子数。 解 依题意可知，水银灯一秒钟辐射的能量为 （1） 用于发射光子的有效能量为 （2） 由于每个波长为的光子的能量为 （3） 故水银灯一秒钟发射的光子数目为 （4） 【习题1.6】 当自由电子与中子的德布洛意波长均为时，求它们各自具有的能量。若它们的速度相等，求出电子与中子波长之比的值。 解 利用德布洛意波长公式 （1） 可以得到能量与波长的关系式 （2） 电子与中子的能量分别为 （3） （4） 自由运动粒子的德布洛意波长为 （5） 当电子与中子的速度相等时，它们的波长之比 （6） 【习题1.7】 为了观察微粒的布朗运动，在液体中放入直径为，质量为的悬浮微粒，在常温下，其热运动的动能为。求该微粒的德布洛意波长，并说明有无必要将其视为量子客体。 解 悬浮微粒的平均动能 （1） 由动能与速度的关系式 （2） 可以求出其平均速度 （3） 悬浮微粒的德布洛意波长为 （4） 该微粒的直径为，远大于其德布洛意波长，故可将其视为非微观客体。