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8.514 凝聚態物理和原子物理中的多體現象 最後修訂: 2003年9月24日 1. 第3課 二次量子化,玻色子 本課程將討論多體問題分析中常用的二次量子化方法。該方法的核心思想最初是由迪拉克（Dirac）提出的, 並由費克(Fock)和約當(Jordan)發揚光大。在這個方法裏，我們把玻色子或費米子的多粒子態想像為一個由一定數目的全同粒子填充的單粒子態。按二次量子化的語言，我們可以把多體問題轉化為用“準粒子”描述的單體問題，而這裏“準粒子”正是在相互作用圖像下的粒子。 1.1 費克空間 多體問題定義了N個粒子（這裏是玻色子），這些粒子是由單粒子哈密頓量及雙體相互作用哈密頓量的和來描述的 其中，xa是粒子座標。在某些特殊情況下，如核粒子，我們需要引入三粒子甚至更高階的多粒子相互作用。例如，等 由多體波函數Φ ( x1, x2,…, xN )描述的系統具有關於座標xa的置換對稱性。這種對稱要求來自於粒子的不可分辨性和波色統計（即波函數在粒子置換下不變）。波函數Φ ( x1, x2,…, xN )服從薛定諤方程 。因為在人們感興趣的典型情況下所涉及的粒子數巨大，直接求解這樣的方程是很困難的。然而，我們可以考慮幾個方法。這裏將討論的二次量子化方法是三十年代發展起來的史上第一個多體技術。 首先，我們將定義有時被稱為多粒子“大”空間的費克空間 也就是第N個單粒子希爾伯空間#SIGN#對稱冪的和。它描述含有任意數目粒子（N=0,1,2…）系統的態。 我們可以通過對態φp(x)的所有排列進行求和，從態ν的正交歸一完備集中提取單粒子波函數φp(x)，並由其對稱積來構成“大空間”ν的基。 mp數表示積裏面函數φp(x)出現的次數。求和ΣP中的排列數等於將N個元素組合為含有m1,m2,…個元素且滿足(m1+m2+…=N)的分組方法的數目。組合係數(N !/ m1! m2!…,)定義了方程(4)中的歸一化因數。可以證明態（4）是正交的且構成ν的完備集。 例如，考慮立方LxLxL中的自由玻色子，其單粒子態可以取為單粒子問題Eφp(x)= 中的本徵態。假設存在週期邊界條件，我們得到平面波形式的本徵態 其中，整數n1,2,3 且V=L3。這些態的能量是。此空間ν由下列函數張開 對應於無粒子態、單粒子態、雙粒子態等的態能量為 0, En , En + Em , 2En , … (7) 注意雙粒子態函數的構造由參與的單粒子是相同還是相異決定。 我們進一步引進所謂的粒子數表像。允許任何總粒子數為N，重點放在占有數為mi 的情況下態的相關性。這種相關性由該表像明確表徵，其中，隨同產生和湮滅算符引入的輔助振子跟單粒子態相關。占有數在該表像下解釋為每個振子中持有的量子數。在粒子數表像中的費克態有如下形式 其中，|0〉是無粒子態，∑mi = N。這種表像反映了（4）中由玻色統計決定的對稱性質。 1.2 二次量子化運算元 在粒子數表像中，多體哈密頓量(1)由算符ai , ai+ 的多項式表示 其中，是單粒子及二粒子矩陣元 通過直接計算全部多粒子態對中的哈密頓量矩陣元，以及展示此表像與多體波函數Φ ( x1, x2,…, xN )描述的初始多體問題(1)所給出結果一致，我們可以證明兩者等價。在證明過程中，雖然所用到組合數學十分直截了當，但還是較煩雜。這裏不給出有關評論，讀者可參考J.R. Schrieffer所著的書《超導電性原理》的附錄，那裏有詳細的分析。另外，我們也可以利用之後討論的泛函方法來導出證明過程。 (9)式和(10)式對任意正交函數集φi(x)成立。在此情況下，當函數為單粒子問題的本徵態，不同態之間的矩陣元為零。 哈密頓量的單粒子部分簡化為 由於 =ai+ ai不過是粒子數算符，對應粒子數態(8)的單粒子哈密頓量的本徵值為 在上述立方中的自由玻色子的例子中，態是由離散的動量標識的，運算式（13）變為 如果玻色子是通過雙體勢函數U(2) = U(r-r’)相互作用，由(9)式和(10)式， 可以得到如下形式的雙粒子哈密頓量  其中，由平面波態(5)計算的(15)式的矩陣元具有如下形式 我們可以通過選擇a = r – r 替換 r作為積分變數來簡化上式的計算，由此（16）式中的積分因數為 其中，U (k)=∫e-ikr U (r)d3r是相互作用勢的傅利葉變換並有 最後，雙體哈密頓量取如下形式 其中，對平面波態(5)中所有服從k1 + k2 = k3 + k4的整數參數進行求和。正如計算中闡明的，k1 + k2 = k3 + k4是由系統的平移不變性給出的。物理上，它表述二粒子散射系統的動量守恆。 二次量子化相互作用哈密頓量是根據煙滅或產生算符