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邏 輯課程網頁：.tw/~ 第十四週： 自然演繹法Ⅳ：替代規則 一、替代規則 (十四)質位變換法(簡寫為Contra)： (p→q) ≡ (~q→~p) 質位變換法說的是，條件句的前件和後件可以互換位置，若且唯若二者都加上否定連接詞，或者二者都去掉否定連接詞。 MT規則可以證成Contra規則。 例1：1. (~A?B)?C 2. ~C 3. ~B?A ∕∴ W 例2：1. B?G 2. F?N 3. ~ (G ? N) ∕∴ ~ (B ? F) 一、替代規則 (十五)蘊含法(簡寫為Impl)： (p→q) ≡ (~p ? q) Impl規則背後的道理：條件句的前件假或後件真時，則該條件句為真。 例1：1. A ∕∴ B→A 例2：1. M→N 2. M→O ∕∴ M → (N ? O) 一、替代規則 (十六)等值法(簡寫為Equiv)： (p ? q) ≡ ((p→q) ? (q→p)) (p ? q) ≡ ((p ? q) ? (~p ? ~q)) 等值法的第一個形式指出，p和q的互為條件句跟「若p則q且若q則p」是邏輯上等值的。 要記住第二個形式，回想互為條件句的真值表，p ? q只在兩種情況中為真：p和q同為真或者p和q同為假。 例1：1. A ? B 2. A ∕∴ B 例2：1. ~R ? P 2. R ? ~P ∕∴ R ? P 一、替代規則 (十七)輸入輸出法(簡寫為IE)： ((p ? q)→r) ≡ (p→(q→r)) 輸入輸出法說的是，「若p和q，則r」跟「若p，則若q則r」是邏輯上等值的。 例如：「若張三和李四說的是真話，則王五有罪」跟「若張三說的是真話，則如果李四說的是真話，那麼王五有罪」是邏輯等值的。 例1：1. J→(K→L) ∕∴ K→(J→L) 例2：1. (S ? K) ? R 2. K ∕∴ S?R 一、替代規則 (十八)重複增減法(簡寫為Idemp)： p ≡ (p ? p) p ≡ (p ? p) 重複增減法的功用在於重複原子語句以增加一個選言和連言，或者消除多餘的選言和連言。 由左到右（p ∕∴p ? p 或 p ∕∴p ? p）－增法 由右到左（p ? p ∕∴p 或 p ? p ∕∴p） －減法 例1：1. ~B→M 2. ~D→M 3. ~(B ? D) ∕∴ M 例2：1. T? (~T ? G) 2. ~G ∕∴ ~T 有趣的推理：我要吃泡泡糖 鍾太太帶著雙胞胎兒子去逛百貨公司，看到一台賣泡泡糖的機器。老大吵著要買泡泡糖吃，老二接著說：「我也要，而且我要跟哥哥一樣顏色的泡泡糖」。 這台泡泡糖機器裡有六顆紅色、四顆白色和五顆藍色的泡泡糖。投一塊錢可以轉出一顆泡泡糖，但這種機器的設計讓人沒辦法控制轉出來的糖是什麼顏色。 請問：鍾太太最多要投幾塊錢，就能得到兩顆一樣顏色的糖？ 有趣的推理：我要吃泡泡糖 這時候，史太太正巧經過這裡，她的三胞胎看到另一台泡泡糖機器，三兄弟也吵著要吃相同顏色的糖。這台泡泡糖機器裡有六顆紅色、四顆白色和一顆藍色的泡泡糖。 請問：史太太最多要投幾塊錢，就能得到三顆一樣顏色的糖？ 一、替代規則 例題： 1. ~S→K 2. S→(R ? M) ∕∴~R→(~M→K) 1. F→G 2. F ? G ∕∴ G 1. P→Q 2. R→(S ? T) 3. ~R→ ~Q 4. S→(T→P) ∕∴ P?R 二、做推論的基本策略 16. Impl規則可用來建立HS規則。 例如：1. ~A ? B 2. ~B ? C ∕∴ A→C 17. IE規則可用來建立MP規則。 例如：1. (A ? B)→C 2. A ∕∴ B→C 18. IE規則可用來建立MT規則。 例如：1. A→(B→C) 2. ~C ∕∴ ~(A ? B) 二、做推論的基本策略 19. Add 規則可用來建立Impl規則。 例如：1. A ∕∴ B→A 20. Contra規則可用來