付録A第2量子化法による多粒子系の記述.docVIP

付録C　第２量子化法による多粒子系の記述 C．１　多粒子系の状態の数表示 N個のボース粒子の波動関数Φ(r1、r2、…、rN)は、任意の粒子の交換に対して不変でなくてはならない： 　（）． （C.1） このΦ(r1、r2、…、rN)を、一粒子状態を表す規格化された波動関数の完全系φ1(r)、φ2(r)、… を用いて表すことを考える．この完全系は何でもよく、例えば３次元非等的調和振動子の固有状態の集まりでもよい．粒子に区別はないのだから、多粒子系の状態は「φ1(r)、φ2(r)、φ3(r)、… を占める粒子数が、n1、n2、n3、… である」という指定の仕方しかできない．そこで、多粒子系の波動関数Φ(r1、r2、…、rN)を、 　ただし、 （C.2） のようにn1、n2、n3、…の組（状態ベクトル）で表すことにする．これは数表示と呼ばれ、が作る空間はフォック（Fock）空間と呼ばれる．を、式（C.1）の要請を満たすように一粒子状態の波動関数から作るには、 （C.3） のN個の( )の中に、r1、r2、…、rN をあらゆる順序で入れて得られる全N !個の和をとり、適当な規格化因子をかければよい．このN !個の和は、行列式 （C.4） を展開し、そのときに現れる負号を、すべて正号に変えたもので与えられる．そのようなものをと略記することにする．これはdeterminant（行列式）に対してpermanent（パーマネント）と呼ばれる．最終的に、N個のボース粒子の波動関数Φ(r1、r2、…、rN)は、規格化条件 （C.5） を満たすように規格化因子をつけて、 （C.6） と一般的に表わすことができる．特に、N個全てのボース粒子が一粒子状態φ1(r)にある場合は、 （C.7） となる． C．２　ボース粒子系の生成，消滅演算子、および場の演算子 ボース粒子系の消滅演算子、生成演算子を、次式によって定義する： （C.8） ． （C.9） このとき、との積で作られる演算子、を考えると、 （C.10） （C.11） となり、これらがエルミート演算子であることがわかる．特に、は状態を占める粒子数を表す演算子になっている．そこで、粒子数演算子を、 （C.12） と定義する．また、（C.10）、（C.11）より、、は、交換関係 （C.13） を満足することがわかる．生成，消滅演算子のハイゼンベルグ表示は，系全体のハミルトニアンをとして，、と表される．これらの交換関係を計算すると， （C.14） このように（C.13）と同様な結果が得られる． ここで生成、消滅演算子を用いて、以下の演算子を定義する： （C.15） これらは「場の演算子」と呼ばれる．場の演算子に関して交換関係を計算すると、 （C.16） ． このように、、と類似した結果が得られる．これらの関係は，ハイゼンベルグ表示、でも同様に成り立つ： （C.17） 一粒子の場合、その波動関数φ(r)の絶対値の自乗は、位置rにおける粒子の存在確率密度を表が、このに対応するものとして、場の演算子の積、の期待値を計算してみると、 (C.18） となり、これは位置rにおけるの粒子数密度を表す． C．３　場の演算子によるハミルトニアンの表示 N個のボース粒子が、共通のポテンシャルを受けて閉じ込められている系を考える．任意の２粒子間には、相互作用ポテンシャルが働いているとする．この系のハミルトニアンは、一粒子ハミルトニアンの和と、二粒子ハミルトニアンの和として次のように表される： (C.19) 番目の粒子に作用する一粒子ハミルトニアンは、波動関数を以下のように一粒子状態の重ね合わせに変換する： ． （C.20） また同様に、番目と番目の粒子に作用する二粒子ハミルトニアンは、波動関数を以下のように二粒子状態の重ね合わせに変換する： ． (C.21) これらの関係と，パーマネントの性質を利用して、多粒子系のハミルトニアンを生成、消滅演算子で書き表すと、 （C.22） となる．更に場の演算子を用いると、 (C.23) と表される． C．4　場の演算子の時間発展 ハイゼンベルグ表示における場の演算子の時間発展は，次のハイゼンベルグの運動方程式より計算される： （C.24） まず、右辺第1項目の[　]内を計算すると、 （C.25） 次に、第２項目の[　]内を計算すると、 （C.26） 以上の結果をまとめると， ． （C.27） となる． 式（C.27）の右辺の積分の内に表れる演算子は、式（C.18）で示したように粒子数密度を表す演算子である．考えているボース粒子系の密度分布が、ポテンシャルの到達距離のスケールではほとんど変化しない，と仮定すると、をデルタ関数のように扱って