第四章 弯曲变形重点介绍.ppt

第四章 弯曲 要求掌握的内容：1.杆件弯曲受力和变形的特点，梁的支座及梁的基本形式；2.梁弯曲时横截面上内力（剪力Q和弯矩M）的求取以及Q图和M图的画法；3.弯曲正应力的求取和弯曲正应力分布情况以及惯性矩的计算；4.弯曲正应力的强度条件及应用；5.弯曲变形，梁的挠度和截面转角的求取，梁的刚度条件及应用；6.提高梁弯曲强度和刚度的措施。 重点：梁弯曲正应力计算及强度条件的应用；梁弯曲变形计算及刚度条件的应用。 难点：剪力图、弯矩图以及梁正应力的分析 3. 画出剪力图和弯矩图 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。 变成 曲线 2）两条纵向线aa、 bb 梁的轴线 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴向拉压，他们之间没有相互挤压。 故梁的横截面上只产生拉（压）应力，而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直于横截面，故为正应力。 4-3 纯弯曲时梁横截面上的正应力 3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距离有关，在横截面的同一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同的，与它在横截面宽度上的位置无关。 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 二、 弯曲变形与应力的关系 1、变形几何关系-纵向纤维的线应变： 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、物理关系-正应力分布规律： 根据轴向拉压时的虎克定律有： 横截面上任意一点的正应力，与该点到中性轴的距离成正比。中性轴上y=0，σ=0。距中性轴越远，应力越大。距中性轴同一高度上各点的正应力相等。 因为横截面上没有轴力 将 代入上式可得 所以必有 —截面对中性轴z的静矩。 根据平面图形（均质薄板）形心计算式： 得 即： 中性轴必通过截面形心。完全确定了中性轴的位置 三、静力学关系 静矩定理 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 1）曲率半径ρ： 在距中性轴为y处任取一微面积dA，则该截面上的弯矩为： 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 如果令： 则： 其中： IZ —整个横截面对中性轴z的惯性矩， 单位：m4 4-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2）正应力计算公式: 最大正应力： 其中：WZ —横截面对中性轴z的抗弯截面 模量， 即： 即： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 1、矩形截面的IZ和wZ： 即： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 2、圆形截面： 3、圆环形截面（α=d/D）： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 4、组合截面： 1）平行移轴定理： 若 则 同理： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 2）组合截面的惯性矩： 设A为组合截面的面积，A1、A2、┄、An 为各组分的面积，则IZ： 同理： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 例3-5 求图示T字形截面对通过其形心C的z轴之惯性矩（图中尺寸单位为mm）。 解: 静矩定理（求组合截面的形心位置）： 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 4-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 4-5 梁的弯曲强度计算 为了保证梁安全可靠的工作，必须使最大工作应力不超过材料的许用应力。 根据强度条件，可以进行三方面的问题计算： 1） 强度校核； 2）截面尺寸的确定； 3）许可载荷的计算。 4-5 梁的弯曲强度计算 说明： 1）危险截面（危险点）的确定； 2）对于抗拉和抗压强度相同的材料，梁的横截面不对称于中性轴，两个抗弯截面模量W1,W2，取较小者代入计算； 3）对于抗拉和抗压强度不同的材料，应同时满足： 例 图示为一T字型截面铸铁梁。在梁上作用有集中载荷，P1=10KN、P2=4KN。铸铁的抗拉许用应力[σp]=40MPa，抗压许用应力[σc]=70MPa。T字型横截面尺寸如图所示，已知截面对形心轴z的惯性矩IZ=763×10-8m4，且y1=52mm。试