第9章二叉树模型剖析.ppt

第9章 二叉树模型 第9章 二叉树模型 第一节 概述 第二节 单步二叉树 第三节 两步二叉树 第一节 概 述 二叉树模型（binomial tree model），是股票期权定价的一种有用的和很常见的方法。它表示在期权有效期内，股票价格可能遵循的路径。尽管没有应用数学方法，但其分析所得出的结论，却具有很强的说服力。 二叉树模型，假定在期权到期时，股价只有两种可能： 一是股价上涨到预期的较高价位； 二是股价下降到预期的较低价位。 在此基础上，讨论期权的理论价格。 第一节 概 述 二叉树模型假设： 第一、市场投资不计较交易成本、税收等； 第二、投资者是价格的接受者； 第三、允许完全使用卖空所得的资金； 第四、允许以无风险利率借入和贷出资金； 第五、未来股票的价格，将是两种预期可能 值中的一种。 一般二叉树模型图，如图5-1所示。 第一节 概 述 第一节 概 述 二叉树模型图符号： Fu、Fd ：节点 u：标的资产价格上升（向上变化） d：标的资产价格下跌（向下变化） n：步（期）数 第一节 概 述 二叉树期权定价的内在逻辑： 在无套利机会的假设下，如果给定可能的股 票价格，可以通过某种方式构造一个股票和期 权的组合（如一份看涨期权空头头寸和标的股票组合），就相当 于对价格的变动进行了套期保值。 第一节 概 述 由于已套期保值投资组合是无风险的，而 且看涨期权的价格仅影响结果的数量。这意 味着不管价格是多少，组合都无风险。 无风险投资组合的期望收益率，都是无 风险利率。通过构造的投资组合成本，可以 得出该期权的价格。 第二节 单步二叉树 1、无风险投资组合 2、一般结论 第二节 单步二叉树 [例9-1] 假定一个股票欧式看涨期权，X=$26,S=$25,T=3个月。标的股票价格,每3个月上升或下降20％。 第二节 单步二叉树 （1） 适当比例买入股票，同时出售看涨期 权，股票盈（亏）与期权亏（盈）相互抵消， 得到确定的投资价值。 （2）买进△股股票，卖出一个看涨期权。 相应数据，见表5-1。 第二节 单步二叉树 表9-1： 第二节 单步二叉树 若分散了风险，到期时ST＝$30， ST＝$20；则投资组合价值应相等，有 $30Δ－$4＝$20Δ 即Δ＝0.4 投资组合： 每买进0.4股股票，就卖出1个看涨期权。则 投资组合到期价值： $30×0.4－$4＝$8 第二节 单步二叉树 假定r＝10％，则期初价值： $8e－0.1×4/12 = $7.8 由表9-1中，有 $25Δ－C = $7.8 C = $2.2 第二节 单步二叉树 假设： S：股票价格 f：期权价格 Δ ：股票股数 T：期权的有效期 u：股票价格上升后是原价格的倍数 d：股票价格下降后是原价格的倍数 第二节 单步二叉树 则：二叉树图 第二节 单步二叉树 当两个价值相等时： SuΔ－fu＝ Sd Δ－ fd 即 上式说明：当在未来的两个节点之间变动时， Δ是期权价格变化与股票价格变化之比。 第二节 单步二叉树 如果无风险利率用r来表示，则该组合的现值是： 根据套利原理有： 第二节 单步二叉树 将式（5.1）代入上式整理，则： f＝e-rT［pfu＋（1-p)fd］ （9.2） 其中： 式（9.2）和（9.3）为单步二叉树模型 第二节 单步二叉树 p值(假概率)： p＋（1－p）＝1 0≤ p≤ 1 第二节 单步二叉树 [例9-2]（数据参见[例9-1] ） u＝1＋（30－25）÷25＝1.2 d＝1＋（20－25）÷25＝0.8 r＝10％ t＝3÷12＝0.25 fu＝4，fd＝0 求：期权的价格C=? 第二节 单步二叉树 解： ⑴ 计算p值 ⑵ 期权到期期望价格 第二节 单步二叉树 ⑶折现 第三节 两步二叉树