第三章连续时间系统的时域分析ppt.ppt

信号与系统 【本章知识要点】 连续时间LTI系统的响应 经典时域分析方法 卷积法 零输入响应求解 零状态响应求解 系统响应求解方法 1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2.卷积法: 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 求解齐次微分方程得到零输入响应 利用卷积积分可求出零状态响应 3.4.1系统的初始条件 3.4 连续时间系统的零输入响应 时的等效电路如图3-12所示， 参见图3-11，设在激励信号加入之前， 激励源在 时刻作用于电路，考察 时刻的状态。 在 图3-11 RLC串联电路 图3-12 等效电路 ， ， 由电路分析的知识我们已经知道，当电路中没有冲激电流强迫作用于电容以及没有冲激电压强迫作用于电感时，换路期间 为了进一步求出 ，则画出 时刻的等效电路。 如图3-13所示。 图3-13 等效电路 ， ， 如果系统在激励信号加入之前瞬间输出响应有一组状态 这组状态被称为系统起始状态，它包含了计算相应的全部过去信息 系统在激励信号加入之后瞬间的一组状态 称这组状态为系统的初始状态 到 时刻可能 发生变化。 由计算结果可见，在激励信号加入后，系统的状态从 根据LTI系统的分解性，其系统响应 可以分解为零输入响应 和零状态响应 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型: 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式， 再由初始条件确定待定系数。 卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路 1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 — 单位冲激响应h(t) 。 3) 利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t) 。 3.2.1卷积的定义 任意两个信号 和 将积分 定义为 和 的卷积，简记为 即 式中 为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的时间信号。 3.2.2 卷积的图解解法 3.2 卷积积分 若待卷积的两个信号 和 都能用解析函数式表达，则可 以采用解析法，即直接按照卷积积分的表达式进行计算。 当信号是用波形表示且又不易用一个式子来表达时，用图解法计算比较直观、方便，而且利用图形可以把抽象的概念形象化，容易确定积分的上下限，有助于理解卷积积分的计算过程。 （3）平移 对反折后的信号进行平移，平移量为 如 平移得 （4）相乘： （5）积分 将 与 的重叠部分相乘，得到积分式中的被积函数 针对不同的 的取值范围，确定积分上下限，计算相乘后图形 的积分(或面积)。 将其中一个信号翻转 （2）反折： 图解法计算卷积积分的运算一般需要以下步骤： （1）换元： 将待卷积两个信号的自变量 换成 【例3-1】 与 的信号如图所示，求 解：按照图解法解题步骤进行计算，如图3-2所示。 （1）换元， （2）反折 （3）平移并计算，按 的不同取值进行分段讨论 t-1, (b)-1t0, (c)0t1, (e)t2, 波形如图3-3所示 (d)1t2, 从以上图解法计算卷积的过程中可以清楚地看到，卷积积分上下限的确定是非常关键的，它取决于两个信号交叠部分的范围。卷积结果所占有的时宽等于两个函数各自时宽的总和。 图3-3 例3-2 与 的信号如图3-4所示，求 。 图3-4 解： （1）换元， （2）反折， 波形如图3-5(1)所示。 图3-5(1)。 （b）当 时， 因此 波形如图3-5(2)所示。 （3）平移并计算，按 的不同取值进行分段讨论。 （a）当 即 时， 图3-5(2) 1．卷积代数 1）交换律 2）分配律 3）结合律 ２．任意函数与 的卷积 3.2.3 卷积积分的性质 上式表明两信号在卷积积分中的次序是可以交换的。 证：利用卷积的定义及冲激函数的筛选性质可得 式（3-2-5）表明，任意函数与单位冲激函数的卷积就是它本身 是卷积的单位元。 3、平移特性 已知 x1(t) * x2(t) = y(t) 则 x1(t - t1) * x2(t - t2) = y(t - t1 - t2) 展缩特性 已知 x1(t) * x2(t) = y(t) 则 【例3-3】 已知 画出 解：利用性质可得： 波形如图所示。 可见，卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和。 ２．卷积的微分、积分性质 １）微分 证明： （3-2-