第二章线性变换ppt.pptVIP

② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注： ① 若矩阵A是线性变换　关于V的一组基的矩阵， 而　是　的一个特征值，则　是特征多项式 的根，即 的一个特征值. 反之，若　是A的特征多项式的根，则　就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 　　　　　 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量. 定理2.6.1: n阶方阵A的特征多项式可以写成如下形式： 特征值的应用十分广泛，但其计算却不是一件容易的事。下面我们介绍一种利用矩阵本身的元素来确定其特征值的较为精确的近似值及其分布区域的方法，即所谓的圆盘定理。 一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵 §3 线性变换与矩阵 例2.3.1、已知 的线性变换 求T在基 下的矩阵。 （2） 定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的； 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.　 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作 例2.3.3、已知 的两个线性变换 求（1） 在自然基下的矩阵。 （2） T与S是否可逆？若可逆，求其逆变换。 两类特殊的线性变换 1. 正交变换 2. 对称变换 定理: 如果对任意的 都有 称为 维欧氏空间V的正交变换 定理: 的充要条件为对任意的 都有 是 维欧氏空间V的正交变换 定义:如果实方阵U满足 则U称为正交矩阵。 则下列命题等价： 定理　设　是 n 维欧氏空间V的一个线性变换. 3） 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵; 1） 是正交变换； 2） 把标准正交基变为标准正交基; 定理: f是一个对称变换，则 （1）存在V的一个标准正交基，使得f关于这个基的矩阵为对角矩阵。 （2）如果A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵U，使得 是对角矩阵。 一、 特征值与特征向量 二、 特征值与特征向量的求法 三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质 §２.６　特征值与特征向量 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， * 第二章　线性变换 Made By QQIR 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第二章　线性变换 §2.1 线性变换的定义 §2.2 线性变换的运算 §２.3 线性变换的矩阵 §２.６　特征值与特征向量 教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念 §2.1 线性变换的定义 教学目的: 理解线性变换的概念 　　线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 变换的概念是函数概念的推广． , x 3 中 在线性空间 P [ ] 例1 设f是线性空间V上的一个线性变换，W是V的一个子空间，如果对W中任意的向量，在f的作用下仍然属于W，则称W是f的不变子空间。 ⅰ) 　是满射 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 ⅱ) 　 是单射 是单射 　是满射. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 教学重点: 线性变换的运算 教学目的: 掌握线性变换的运算及其 简单性质 §2.2 线性变换的运算 教学难点: 线性变换的乘法运算 一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 五、 线性变换的多项式 1．定义 设　　为线性空间V的两个线性变换，定义它们 一、 线性变换的乘积 的乘积　 为： 则 　也是V的线性变换. ２．基本性质 （1）满足结合律： （2）　　　　　　，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地， 例1. 线性空间　　中，线性变换 而， 即 例2. 设A、B　　　为两个取定的矩阵，定义变换 则　　皆为　　的线性变换，且对　　　　　有 则 　　也是V的线性变换. 二、 线性变换的和 1．定义 设　　为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和　 为： （3） 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律： 2．基本性质 （1）满足交换律： （2）满足结合律： 3．负变换 设　为线性空间V的线性变换，定义变换　　为： 则 　也为V的线性变换，称之为　的负变换. 注： 三、